Descreva o ângulo entre o eixo z e uma reta geratriz dos cones a seguir:
z=\sqrt{3\left(x^{2}+y^{2}\right)}.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre o eixo z e uma reta geratriz do cone dado por
z=\sqrt{3\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}.
O conteúdo aqui é análise geométrica de um cone circular reto: em coordenadas cilíndricas, relacionamos z e o raio r, e depois usamos produto escalar para achar o ângulo entre direções no espaço.

Passo 2

Passamos para coordenadas cilíndricas, onde r=\sqrt{x^2+y^2}. A equação do cone fica
z=\sqrt{3}\,r.
Isso mostra que, ao longo de qualquer geratriz, o par \bigl(r,z\bigr) satisfaz z/r=\sqrt{3}.

Passo 3

Uma direção de geratriz pode ser representada pelo vetor
\mathbf{v}=(r,0,z)
que, tomando r=1 (apenas para fixar escala), vira
\mathbf{v}=(1,0,\sqrt{3}).
O eixo z tem direção dada pelo vetor unitário
\mathbf{k}=(0,0,1).

Passo 4

O ângulo \theta entre \mathbf{v} e \mathbf{k} satisfaz
\cos\theta =\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{k}}{\|\mathbf{v}\|\;\|\mathbf{k}\|} =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+(\sqrt{3})^{2}}\;1} =\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Logo
\theta=\operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)=30^\circ.

Resposta

O ângulo entre o eixo z e uma geratriz do cone é 30^\circ.

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