Descreva o ângulo entre o eixo
e uma reta geratriz dos cones a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede o ângulo entre o eixo
e uma reta geratriz do cone
O conteúdo é geometria analítica de cones e cálculo de ângulo entre linhas no espaço, que usaremos via produto escalar de vetores diretores.
Passo 2
Cada geratriz do cone passa pela origem e satisfaz
Para ficar mais simples, escolhemos a geratriz que está no plano
. Tomamos um ponto genérico nela com coordenadas
que satisfaz
. Assim, um vetor diretor da geratriz é
Podemos então usar
já que constantes escalares não mudam o ângulo.
Passo 3
O eixo
é orientado pelo vetor unitário
O ângulo
entre
e
satisfaz
Passo 4
Calculamos as componentes necessárias:
e
. Portanto
Resposta
O ângulo entre o eixo
e uma reta geratriz do cone é