Descreva o ângulo entre o eixo z e uma reta geratriz dos cones a seguir:
z=\frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre o eixo z e uma reta geratriz do cone
z = \frac{\sqrt{3}}{3}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo é geometria analítica de cones e cálculo de ângulo entre linhas no espaço, que usaremos via produto escalar de vetores diretores.

Passo 2

Cada geratriz do cone passa pela origem e satisfaz
\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.
Para ficar mais simples, escolhemos a geratriz que está no plano y=0. Tomamos um ponto genérico nela com coordenadas (r,0,z) que satisfaz z = \tfrac{\sqrt{3}}{3}\,r. Assim, um vetor diretor da geratriz é
v = \bigl(r,0,\tfrac{\sqrt{3}}{3}r\bigr) = r\,(1,0,\tfrac{\sqrt{3}}{3}).
Podemos então usar
v = \bigl(1,0,\tfrac{\sqrt{3}}{3}\bigr)
já que constantes escalares não mudam o ângulo.

Passo 3

O eixo z é orientado pelo vetor unitário
e_{z} = (0,0,1).
O ângulo \theta entre v e e_{z} satisfaz
\cos(\theta) = \frac{v \cdot e_{z}}{\|v\|\;\|e_{z}\|}.

Passo 4

Calculamos as componentes necessárias:
v \cdot e_{z} = 1\cdot 0 + 0\cdot 0 + \tfrac{\sqrt{3}}{3}\cdot 1 = \tfrac{\sqrt{3}}{3},
\|v\| = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + \bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{3}\bigr)^{2}} = \sqrt{1 + \tfrac{1}{3}} = \sqrt{\tfrac{4}{3}} = \tfrac{2}{\sqrt{3}},
e \|e_{z}\|=1. Portanto
\cos(\theta) = \frac{\tfrac{\sqrt{3}}{3}}{\tfrac{2}{\sqrt{3}}\cdot 1} = \frac{\sqrt{3}}{3}\;\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}.

Resposta

O ângulo entre o eixo z e uma reta geratriz do cone é
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac12\bigr) = 60^\circ.

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