Descreva as quádricas descritas pelas equações a seguir:
-5 x^{2}-10 y^{2}+70 x+140 y+z-18=0.

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádric­a
-5x^{2}-10y^{2}+70x+140y+z-18=0.
Não há termo em z^{2}, mas há termo linear em z, o que sugere que se trata de um paraboloide (pois somente x e y aparecem quadráticos).

Passo 2

Isolamos z para escrever em função de x e y:
z = 5x^{2} + 10y^{2} - 70x - 140y + 18.

Passo 3

Para identificar o tipo exato de paraboloide, completamos o quadrado em x e em y.
Em x:
5x^{2} -70x = 5\bigl(x^{2}-14x\bigr) =5\bigl((x-7)^{2}-49\bigr) =5(x-7)^{2}-245.
Em y:
10y^{2}-140y = 10\bigl(y^{2}-14y\bigr) =10\bigl((y-7)^{2}-49\bigr) =10(y-7)^{2}-490.
Somando tudo e o termo constante +18, temos
z = 5(x-7)^{2} -245 \;+\;10(y-7)^{2} -490 \;+\;18 =5(x-7)^{2}+10(y-7)^{2}-717.

Passo 4

Colocando em forma padrão, obtemos
z + 717 = 5(x-7)^{2} + 10(y-7)^{2}.

Passo 5

Como os coeficientes de (x-7)^{2} e (y-7)^{2} são positivos, é um paraboloide elíptico que abre no sentido crescente de z. O vértice está em (x,y,z)=(7,7,-717).

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico com vértice em (7,7,-717) e que abre para cima (no sentido de z), de equação padrão
z + 717 = 5(x-7)^{2} + 10(y-7)^{2}.

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