Descreva o ângulo entre o eixo z e uma reta geratriz dos cones a seguir:
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado fornece o cone z = \sqrt{x^2 + y^2}
e pede o ângulo entre o eixo z (vetor \mathbf{k} = (0,0,1)) e qualquer reta geratriz, ou seja, uma reta que liga o vértice (0,0,0) a um ponto da superfície do cone. Para encontrar esse ângulo, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores via produto escalar.

Passo 2

Escolhemos um ponto genérico na geratriz, fixando um ângulo \varphi no plano xy. Como z = \sqrt{x^2+y^2}, podemos parametrizar a geratriz por
(x,y,z) = (t\cos\varphi,\;t\sin\varphi,\;t),\quad t\ge0.
O vetor direção dessa reta é
\mathbf{v} = (\cos\varphi,\;\sin\varphi,\;1).

Passo 3

Temos o vetor do eixo z dado por
\mathbf{k} = (0,0,1).
Calculamos o produto escalar e as normas:
\mathbf{v}\cdot \mathbf{k} = 0\cdot\cos\varphi + 0\cdot\sin\varphi + 1\cdot1 = 1,
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\cos^2\varphi + \sin^2\varphi + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}, \qquad \|\mathbf{k}\| = 1.

Passo 4

Pela fórmula do cosseno do ângulo \alpha entre \mathbf{v} e \mathbf{k},
\cos\alpha = \frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{k}}{\|\mathbf{v}\|\;\|\mathbf{k}\|} = \frac{1}{\sqrt{2}\,\cdot1} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Logo
\alpha = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) = \frac{\pi}{4}\quad\bigl(45^\circ\bigr).

Resposta

O ângulo entre o eixo z e qualquer geratriz do cone é \displaystyle \alpha = \frac{\pi}{4} (ou 45^\circ).

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