Questão 4. Sendo A=(1,-1,4) um ponto de uma reta r e \vec{v}=(3,5,7) um vetor paralelo a r.
(a) Encontre a equação vetorial da reta r.
(b) Encontre as equações paramétricas da reta r.
(c) Encontre as equações simétricas da reta r, caso exista.
(d) Encontre as equações reduzidas da reta r, caso exista.

Passo 1

O enunciado dá um ponto
A=(1,-1,4)
da reta r e um vetor diretor
\vec v=(3,5,7)
paralelo a r.
Conteúdo: representação de reta em \mathbb R^3 nas formas vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida.

Passo 2

Para a equação vetorial, usamos a definição
\mathbf r(t)=\mathbf r_0 + t\,\mathbf v,
onde \mathbf r_0 é o vetor posição de A e \mathbf v o vetor diretor.
Aqui \mathbf r_0=(1,-1,4) e \mathbf v=(3,5,7), logo
\mathbf r(t) = (1,-1,4) + t\,(3,5,7),\quad t\in\mathbb R.

Passo 3

Para as equações paramétricas, basta separar as componentes de \mathbf r(t):
x=1+3t,\qquad y=-1+5t,\qquad z=4+7t,\quad t\in\mathbb R.

Passo 4

As equações simétricas existem pois todas as componentes de \vec v são diferentes de zero. Igualamos cada diferença ao parâmetro t:
\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{5}=\frac{z-4}{7}.

Passo 5

Como a componente x do vetor diretor é não nula, podemos escrever a forma reduzida expressando y e z em função de x. Da simétrica \tfrac{x-1}{3}=t segue
y-(-1)=5t\quad\Rightarrow\quad y=-1+\frac{5}{3}(x-1),
z-4=7t\quad\Rightarrow\quad z=4+\frac{7}{3}(x-1).

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf r(t)=(1,-1,4)+t\,(3,5,7),\;t\in\mathbb R.
(b) \displaystyle x=1+3t,\;y=-1+5t,\;z=4+7t,\;t\in\mathbb R.
(c) \displaystyle \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{5}=\frac{z-4}{7}.
(d) \displaystyle y=-1+\tfrac{5}{3}(x-1),\quad z=4+\tfrac{7}{3}(x-1).

Exercícios relacionados