Questão 2. Considere um triângulo, \triangle A B C, em \mathbb{R}^{3}, em que os vértices desse triângulo são A=(3,0,0), B=(0,3,0) e C=(1,1,2). Diga se o triângulo, \Delta A B C, é isósceles, escaleno ou equilátero. Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado dá o triângulo \triangle ABC em \mathbb{R}^3 com vértices
A = (3,0,0),\quad B = (0,3,0),\quad C = (1,1,2)
e pede para classificar se ele é isósceles, escaleno ou equilátero. Para isso vamos usar a fórmula da distância em \mathbb{R}^3:
d(P,Q)=\sqrt{(x_P-x_Q)^2 + (y_P-y_Q)^2 + (z_P-z_Q)^2}.

Passo 2

Calcular AB:
AB^2 = (3-0)^2 + (0-3)^2 + (0-0)^2 = 9 + 9 + 0 = 18
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AB = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.

Passo 3

Calcular BC e AC:
BC^2 = (0-1)^2 + (3-1)^2 + (0-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9 \quad\Longrightarrow\quad BC = 3,
AC^2 = (3-1)^2 + (0-1)^2 + (0-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9 \quad\Longrightarrow\quad AC = 3.

Passo 4

Comparando os comprimentos temos
AB = 3\sqrt{2},\quad BC = 3,\quad AC = 3,
ou seja, BC = AC \neq AB. Portanto o triângulo tem dois lados iguais e um diferente.

Resposta

O triângulo \triangle ABC é isósceles, pois AC = BC e AB é diferente.

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