Descreva as quádricas descritas pelas equações a seguir:
x^{2}-24 x+y^{2}-10 y+z^{2}+16 z-32=0.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de segundo grau em (x,y,z) x^{2}-24x+y^{2}-10y+z^{2}+16z-32=0,
e pede que a gente identifique de que tipo de quádricas se trata. Para isso, vamos completar o quadrado em cada variável e ver a forma-canônica.

Passo 2

Para a parte que envolve x, escrevemos
x^{2}-24x = (x-12)^{2}-144.

Passo 3

Para a parte que envolve y, escrevemos
y^{2}-10y = (y-5)^{2}-25.

Passo 4

Para a parte que envolve z, escrevemos
z^{2}+16z = (z+8)^{2}-64.

Passo 5

Somando tudo na equação original temos
(x-12)^{2}-144 + (y-5)^{2}-25 + (z+8)^{2}-64 -32 = 0,
ou seja,
(x-12)^{2} + (y-5)^{2} + (z+8)^{2} - 265 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-12)^{2} + (y-5)^{2} + (z+8)^{2} = 265.
Isso mostra que a quádricas é uma esfera com centro e raio bem definidos.

Resposta

A superfície é uma esfera de centro (12,5,-8) e raio \sqrt{265}.

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