Descreva cada sólido abaixo por meio de desigualdades, usando coordenadas esféricas. Faça uma figura em cada caso.
A bola de raio
dada em coordenadas cartesianas por
.
A bola de raio
Passo 1
O enunciado pede que eu descreva a bola de raio
dada por
usando coordenadas esféricas, e que eu faça uma figura (vou descrever como desenhar/visualizar). Informações dadas:
- A bola é centrada na origem e tem raio
. - A descrição atual está em coordenadas cartesianas por
.
O que é pedido explicitamente:
- Reescrever a região anterior em desigualdades envolvendo as coordenadas esféricas.
- Fazer (descrever) uma figura para ajudar a visualizar.
Passo 2
Antes de mudar as desigualdades, vamos lembrar como são definidas as coordenadas esféricas e as fórmulas de transformação — isso é fundamental para entender a tradução do enunciado. Em coordenadas esféricas usamos três variáveis
,
e
com a seguinte interpretação e domínio usual:
-
é a distância do ponto à origem. Por isso . -
é o ângulo azimutal no plano , medido a partir do eixo positivo, com (ou se preferir incluir o como igual ao ). -
é o ângulo polar (colatitude), medido a partir do eixo positivo, com .
As fórmulas que ligam cartesianas a esféricas são
Aqui cada símbolo significa:
-
: distância ao origem (um número real não negativo), -
: ângulo no plano , -
: ângulo em relação ao eixo .
Passo 3
Agora vamos expressar
em termos de
. Substituindo as expressões de
acima:
Fatorando
obtemos
Dentro do parêntese, use a identidade trigonométrica
para ver que
Portanto
Passo 4
Voltando à desigualdade dada pela bola,
substituindo
no lugar de
temos
Como
, essa desigualdade é equivalente a
As variáveis angulares continuam variando por todo o domínio completo, porque a bola inclui todos os ângulos ao redor da origem. Logo podemos tomar
(Se preferir, pode usar
sabendo que
e
representam a mesma linha.)
Passo 5
Interpretação geométrica rápida (útil para prova): dizer
significa “todos os pontos cuja distância à origem é no máximo
”, ou seja estamos incluindo o interior e a superfície da esfera de raio
. Os ângulos
e
percorrem todas as direções possíveis a partir da origem, garantindo que a região é completa em todas as direções.
Passo 6
Descrição da figura (como fazer um desenho simples em prova ou caderno):
- Desenhe os três eixos
com o origin ao centro. - Trace uma esfera centrada na origem com raio
. - Marque um ponto qualquer na superfície e desenhe um segmento do ponto até a origem: esse segmento tem comprimento
(na superfície , dentro ). - No segmento, desenhe o ângulo
entre o segmento e o eixo (coloque a marcação de na origem) e no plano horizontal (plano ) marque entre a projeção do segmento no plano e o eixo .
Essa figura ilustra que para qualquer direção () você vai até na superfície, e para pontos internos você fica com .
Passo 7
Dica prática para a prova: sempre que você vir uma condição do tipo
(alguma constante), pense imediatamente em
— isso simplifica muito: passa a ser apenas uma desigualdade em
. Se a região tiver também restrições angulares, elas aparecem diretamente em
e
.