Descreva cada sólido abaixo por meio de desigualdades, usando coordenadas esféricas. Faça uma figura em cada caso.
A bola de raio a dada em coordenadas cartesianas por x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq a^{2}.

Passo 1

O enunciado pede que eu descreva a bola de raio a dada por
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le a^{2}
usando coordenadas esféricas, e que eu faça uma figura (vou descrever como desenhar/visualizar). Informações dadas:
  • A bola é centrada na origem e tem raio a.
  • A descrição atual está em coordenadas cartesianas por \;x^{2}+y^{2}+z^{2}\le a^{2}.
O que é pedido explicitamente:
  • Reescrever a região anterior em desigualdades envolvendo as coordenadas esféricas.
  • Fazer (descrever) uma figura para ajudar a visualizar.

Passo 2

Antes de mudar as desigualdades, vamos lembrar como são definidas as coordenadas esféricas e as fórmulas de transformação — isso é fundamental para entender a tradução do enunciado. Em coordenadas esféricas usamos três variáveis \rho, \theta e \varphi com a seguinte interpretação e domínio usual:
  • \rho é a distância do ponto à origem. Por isso \rho\ge 0.
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, medido a partir do eixo x positivo, com 0\le \theta<2\pi (ou 0\le\theta\le 2\pi se preferir incluir o 2\pi como igual ao 0).
  • \varphi é o ângulo polar (colatitude), medido a partir do eixo z positivo, com 0\le \varphi\le \pi.
As fórmulas que ligam cartesianas a esféricas são
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,
y=\rho\sin\varphi\sin\theta,
z=\rho\cos\varphi.
Aqui cada símbolo significa:
  • \rho: distância ao origem (um número real não negativo),
  • \theta: ângulo no plano xy,
  • \varphi: ângulo em relação ao eixo z.

Passo 3

Agora vamos expressar x^{2}+y^{2}+z^{2} em termos de \rho,\theta,\varphi. Substituindo as expressões de x,y,z acima:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=(\rho\sin\varphi\cos\theta)^{2}+(\rho\sin\varphi\sin\theta)^{2}+(\rho\cos\varphi)^{2}.
Fatorando \rho^{2} obtemos
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}\big(\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta+\sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta+\cos^{2}\varphi\big).
Dentro do parêntese, use a identidade trigonométrica \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 para ver que
\sin^{2}\varphi(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+\cos^{2}\varphi=\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1.
Portanto
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}\cdot 1=\rho^{2}.

Passo 4

Voltando à desigualdade dada pela bola,
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le a^{2},
substituindo \rho^{2} no lugar de x^{2}+y^{2}+z^{2} temos
\rho^{2}\le a^{2}.
Como \rho\ge 0, essa desigualdade é equivalente a
0\le \rho\le a.
As variáveis angulares continuam variando por todo o domínio completo, porque a bola inclui todos os ângulos ao redor da origem. Logo podemos tomar
0\le \theta<2\pi\quad\text{e}\quad 0\le \varphi\le \pi.
(Se preferir, pode usar 0\le\theta\le 2\pi sabendo que \theta=0 e \theta=2\pi representam a mesma linha.)

Passo 5

Interpretação geométrica rápida (útil para prova): dizer \;0\le \rho\le a significa “todos os pontos cuja distância à origem é no máximo a”, ou seja estamos incluindo o interior e a superfície da esfera de raio a. Os ângulos \theta e \varphi percorrem todas as direções possíveis a partir da origem, garantindo que a região é completa em todas as direções.

Passo 6

Descrição da figura (como fazer um desenho simples em prova ou caderno):
  • Desenhe os três eixos x,y,z com o origin ao centro.
  • Trace uma esfera centrada na origem com raio a.
  • Marque um ponto qualquer na superfície e desenhe um segmento do ponto até a origem: esse segmento tem comprimento \rho (na superfície \rho=a, dentro \rho<a).
  • No segmento, desenhe o ângulo \varphi entre o segmento e o eixo z (coloque a marcação de \varphi na origem) e no plano horizontal (plano xy) marque \theta entre a projeção do segmento no plano xy e o eixo x.
    Essa figura ilustra que para qualquer direção ( \theta,\varphi) você vai até \rho=a na superfície, e para pontos internos você fica com \rho<a.

Passo 7

Dica prática para a prova: sempre que você vir uma condição do tipo x^{2}+y^{2}+z^{2}\le (alguma constante), pense imediatamente em \rho^{2} — isso simplifica muito: passa a ser apenas uma desigualdade em \rho. Se a região tiver também restrições angulares, elas aparecem diretamente em \theta e \varphi.

Resposta

0\le \rho\le a,\qquad 0\le \theta<2\pi,\qquad 0\le \varphi\le \pi

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