Calcule a coordenada z do centroide da metade superior da bola de raio a centrada na origem.

Passo 1

O que o problema pede: Calcular a coordenada z do centróide da metade superior (hemisfério sólido) da bola de raio a centrada na origem. Ou seja, queremos a posição média em z do sólido
\Omega=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le a^{2},\; z\ge 0\}.
Informações dadas e claras:
  • A bola tem raio a e está centrada na origem.
  • Estamos considerando somente a metade superior: z\ge 0.
  • Precisamos do coordenada z do centróide (a componente z do vetor centróide).

Passo 2

Fórmula do centróide (explicação didática): O centróide de um sólido é a “média” das posições dos pontos do sólido, ponderada pelo volume. A componente z do centróide é dada por
\bar{z}=\frac{1}{V}\iiint_{\Omega} z\, dV,
onde V é o volume do sólido \Omega e \iiint_{\Omega} z\, dV é a integral do valor z sobre todo o volume — isso dá a “soma ponderada” das alturas. Aqui:
  • V é o volume do hemisfério;
  • dV é o elemento de volume (no cálculo em coordenadas cilíndricas ou esféricas aparece um fator extra, o jacobiano).
    Essa fórmula vem da definição de valor médio: média = (soma dos valores) / (quantidade), trocando soma por integral e quantidade por volume.

Passo 3

Calcular o volume V do hemisfério (passo simples e necessário):
  • O volume de uma esfera de raio a é \displaystyle \frac{4}{3}\pi a^{3}.
  • A metade superior tem volume metade disso, logo
V=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi a^{3}=\frac{2}{3}\pi a^{3}.
Sempre útil checar que a unidade é a^{3} (volume).

Passo 4

Escolha de coordenadas e montagem da integral do numerador (explicando por que uso cilíndricas):
Vou usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) porque o hemisfério é um sólido de revolução em torno do eixo z; nessas coordenadas o elemento de volume é simples:
dV=r\, dr\, d\theta\, dz.
Limites na ordem (r,\theta,z):
  • \theta varia de 0 a 2\pi;
  • para cada z com 0\le z\le a, o raio máximo é \sqrt{a^{2}-z^{2}} (vindo da equação da esfera);
  • z varia de 0 a a.
Portanto a integral do numerador é
\iiint_{\Omega} z\, dV=\int_{z=0}^{a}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{a^{2}-z^{2}}} z\; r\, dr\, d\theta\, dz.
Aqui cada símbolo:
  • z dentro da integral é a altura que estamos somando;
  • r\, dr\, d\theta\, dz é o elemento de volume em cilíndricas.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo:
Primeiro integramos em r:
\int_{r=0}^{\sqrt{a^{2}-z^{2}}} r\, dr=\left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{\sqrt{a^{2}-z^{2}}}=\frac{1}{2}\big(a^{2}-z^{2}\big).
Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Juntando com o fator z, obtemos para o numerador
\iiint_{\Omega} z\, dV = \int_{0}^{a} z\cdot 2\pi\cdot \frac{1}{2}\big(a^{2}-z^{2}\big)\, dz = \pi\int_{0}^{a} z\big(a^{2}-z^{2}\big)\, dz.
Agora expandimos e integramos em z:
\int_{0}^{a} z\big(a^{2}-z^{2}\big)\, dz = a^{2}\int_{0}^{a} z\, dz - \int_{0}^{a} z^{3}\, dz.
Calcule cada integral:
\int_{0}^{a} z\, dz=\left.\frac{z^{2}}{2}\right|_{0}^{a}=\frac{a^{2}}{2},
\int_{0}^{a} z^{3}\, dz=\left.\frac{z^{4}}{4}\right|_{0}^{a}=\frac{a^{4}}{4}.
Logo
\int_{0}^{a} z\big(a^{2}-z^{2}\big)\, dz = a^{2}\cdot\frac{a^{2}}{2}-\frac{a^{4}}{4} = \frac{a^{4}}{2}-\frac{a^{4}}{4}=\frac{a^{4}}{4}.
Multiplicando pelo \pi que estava fora:
\iiint_{\Omega} z\, dV = \pi\cdot\frac{a^{4}}{4}=\frac{\pi a^{4}}{4}.

Passo 6

Calcular \bar{z} dividindo numerador por V e simplificar:
\bar{z}=\frac{1}{V}\iiint_{\Omega} z\, dV = \frac{\dfrac{\pi a^{4}}{4}}{\dfrac{2}{3}\pi a^{3}}.
Cancele \pi e a^{3}:
\bar{z}=\frac{a}{4}\cdot\frac{1}{(2/3)}=\frac{a}{4}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3a}{8}.
Interpretação rápida: o centróide fica à distância \dfrac{3a}{8} acima da origem ao longo do eixo z. Essa posição está entre 0 e a e é menor que o centroide de uma casca (o que faz sentido fisicamente).

Passo 7

Cheque de sanidade e motivação final:
  • Verificação rápida: 0<\dfrac{3a}{8}<\dfrac{a}{2} — faz sentido, o centróide está acima do plano equatorial ( z=0) e bem abaixo do topo ( z=a).
  • Conclusão: o resultado é conhecido e coerente com tabelas: o centróide do hemisfério sólido ao longo do eixo de simetria está em z=\dfrac{3a}{8}. Força aí nos estudos — essa integral é um padrão que cai bastante em provas!

Resposta

\dfrac{3a}{8}

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