Calcule a coordenada z do centroide da metade superior da bola de raio a centrada na origem.
Passo 1
O que o problema pede: Calcular a coordenada z do centróide da metade superior (hemisfério sólido) da bola de raio a centrada na origem. Ou seja, queremos a posição média em z do sólido
Estamos considerando somente a metade superior: z\ge 0.
Precisamos do coordenada z do centróide (a componente z do vetor centróide).
Passo 2
Fórmula do centróide (explicação didática): O centróide de um sólido é a “média” das posições dos pontos do sólido, ponderada pelo volume. A componente z do centróide é dada por
\bar{z}=\frac{1}{V}\iiint_{\Omega} z\, dV,
onde V é o volume do sólido \Omega e \iiint_{\Omega} z\, dV é a integral do valor z sobre todo o volume — isso dá a “soma ponderada” das alturas. Aqui:
V é o volume do hemisfério;
dV é o elemento de volume (no cálculo em coordenadas cilíndricas ou esféricas aparece um fator extra, o jacobiano).
Essa fórmula vem da definição de valor médio: média = (soma dos valores) / (quantidade), trocando soma por integral e quantidade por volume.
Passo 3
Calcular o volume V do hemisfério (passo simples e necessário):
O volume de uma esfera de raio a é \displaystyle \frac{4}{3}\pi a^{3}.
Sempre útil checar que a unidade é a^{3} (volume).
Passo 4
Escolha de coordenadas e montagem da integral do numerador (explicando por que uso cilíndricas):
Vou usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) porque o hemisfério é um sólido de revolução em torno do eixo z; nessas coordenadas o elemento de volume é simples:
dV=r\, dr\, d\theta\, dz.
Limites na ordem (r,\theta,z):
\theta varia de 0 a 2\pi;
para cada z com 0\le z\le a, o raio máximo é \sqrt{a^{2}-z^{2}} (vindo da equação da esfera);
Interpretação rápida: o centróide fica à distância \dfrac{3a}{8} acima da origem ao longo do eixo z. Essa posição está entre 0 e a e é menor que o centroide de uma casca (o que faz sentido fisicamente).
Passo 7
Cheque de sanidade e motivação final:
Verificação rápida: 0<\dfrac{3a}{8}<\dfrac{a}{2} — faz sentido, o centróide está acima do plano equatorial (z=0) e bem abaixo do topo (z=a).
Conclusão: o resultado é conhecido e coerente com tabelas: o centróide do hemisfério sólido ao longo do eixo de simetria está em z=\dfrac{3a}{8}. Força aí nos estudos — essa integral é um padrão que cai bastante em provas!