Uma nuvem esférica de gás, de raio 3 km , é mais densa no centro do que perto da borda. Se a densidade \delta a uma distância de \rho \mathrm{km} do centro é dada por \delta(\rho)=3-\rho unidades, calcule a massa da nuvem de gás.

Passo 1

O enunciado dá uma nuvem esférica de raio 3 km e uma função densidade em função da distância \rho ao centro. Precisamos calcular a massa total da nuvem. Dados e pedidos organizados:
  • Raio da nuvem: \rho_{\text{max}}=3 (km).
  • Densidade em função da distância ao centro: \delta(\rho)=3-\rho (unidades de massa por volume), válida para 0\le \rho\le 3.
  • Pedido: calcular a massa total M da nuvem.

Passo 2

Ideia para resolver (explicação didática): como a densidade depende só da distância ao centro, a nuvem é radialmente simétrica. Podemos imaginar a esfera dividida em muitas casquinhas esféricas concêntricas de espessura pequena \,d\rho. Cada casquinha, localizada a uma distância \rho do centro, tem volume aproximadamente igual à área da superfície da esfera de raio \rho multiplicada pela espessura \,d\rho. A área da superfície de uma esfera de raio \rho é \,4\pi \rho^{2}. Portanto o volume de uma casquinha fina é
dV \approx 4\pi \rho^{2}\,d\rho.
Esse é um passo fundamental: transformar um problema 3D em uma integral unidimensional usando simetria esférica.

Passo 3

Agora relacionamos densidade e massa de uma casquinha. A massa pequena \,dm contida nessa casquinha é densidade vezes volume:
dm=\delta(\rho)\,dV=(3-\rho)\cdot 4\pi \rho^{2}\,d\rho.
Isto significa que para somar (integrar) todas as casquinhas de \rho=0 até \rho=3 obteremos a massa total.

Passo 4

Escrevendo a integral para a massa total M:
M=\int_{0}^{3} dm=\int_{0}^{3} 4\pi(3-\rho)\rho^{2}\,d\rho.
Podemos tirar a constante 4\pi para fora da integral:
M=4\pi \int_{0}^{3} (3\rho^{2}-\rho^{3})\,d\rho.

Passo 5

Calculemos as primitivas (antiderivadas) termo a termo. Lembre que:
  • A primitiva de \rho^{n} é \dfrac{\rho^{n+1}}{n+1}.
    Aplicando:
\int 3\rho^{2}\,d\rho = 3\cdot \frac{\rho^{3}}{3} = \rho^{3}, \qquad \int \rho^{3}\,d\rho = \frac{\rho^{4}}{4}.
Logo a primitiva do integrando é \rho^{3}-\dfrac{\rho^{4}}{4}.

Passo 6

Avalie a integral definida de 0 a 3:
M=4\pi\left[\rho^{3}-\frac{\rho^{4}}{4}\right]_{0}^{3} =4\pi\left(3^{3}-\frac{3^{4}}{4}\right).
Calcule passo a passo:
3^{3}=27,\qquad 3^{4}=81,\qquad \frac{81}{4}.
Então dentro dos colchetes fica
27-\frac{81}{4}=\frac{108}{4}-\frac{81}{4}=\frac{27}{4}.
Multiplicando por 4\pi obtemos
M=4\pi\cdot\frac{27}{4}=27\pi.

Passo 7

Interpretação final e encorajamento: a massa total da nuvem, em unidades de massa compatíveis com a densidade dada, é \,27\pi. Bons estudos — você já consegue fazer esse tipo de integral passo a passo!

Resposta

\,27\pi\\ \text{unidades}

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