Uma nuvem esférica de gás, de raio 3 km , é mais densa no centro do que perto da borda. Se a densidade
a uma distância de
do centro é dada por
unidades, calcule a massa da nuvem de gás.
Passo 1
O enunciado dá uma nuvem esférica de raio
km e uma função densidade em função da distância
ao centro. Precisamos calcular a massa total da nuvem. Dados e pedidos organizados:
- Raio da nuvem:
(km). - Densidade em função da distância ao centro:
(unidades de massa por volume), válida para . - Pedido: calcular a massa total
da nuvem.
Passo 2
Ideia para resolver (explicação didática): como a densidade depende só da distância ao centro, a nuvem é radialmente simétrica. Podemos imaginar a esfera dividida em muitas casquinhas esféricas concêntricas de espessura pequena
. Cada casquinha, localizada a uma distância
do centro, tem volume aproximadamente igual à área da superfície da esfera de raio
multiplicada pela espessura
. A área da superfície de uma esfera de raio
é
. Portanto o volume de uma casquinha fina é
Esse é um passo fundamental: transformar um problema 3D em uma integral unidimensional usando simetria esférica.
Passo 3
Agora relacionamos densidade e massa de uma casquinha. A massa pequena
contida nessa casquinha é densidade vezes volume:
Isto significa que para somar (integrar) todas as casquinhas de
até
obteremos a massa total.
Passo 4
Escrevendo a integral para a massa total
:
Podemos tirar a constante
para fora da integral:
Passo 5
Calculemos as primitivas (antiderivadas) termo a termo. Lembre que:
- A primitiva de
é .
Aplicando:
Logo a primitiva do integrando é
.
Passo 6
Avalie a integral definida de
a
:
Calcule passo a passo:
Então dentro dos colchetes fica
Multiplicando por
obtemos
Passo 7
Interpretação final e encorajamento: a massa total da nuvem, em unidades de massa compatíveis com a densidade dada, é
. Bons estudos — você já consegue fazer esse tipo de integral passo a passo!