Descreva cada sólido abaixo por meio de desigualdades, usando coordenadas esféricas. Faça uma figura em cada caso.
A região delimitada pela calota de altura 1 / 2 e o plano z=1 / 2, na bola de raio 1 .

Passo 1

O enunciado pede: descrever por desigualdades, em coordenadas esféricas, a região que é a calota da bola de raio 1 de altura 1/2 delimitada pelo plano z=1/2. Informações dadas e o que precisamos representar:
  • A bola de raio 1 centrada na origem: \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1\}.
  • A calota tem altura 1/2. Para uma esfera de raio 1 isso significa que a superfície da calota é a porção da esfera acima do plano z=1/2.
  • O plano que delimita a base da calota é z=1/2.
  • Precisamos traduzir a região \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1,\; z\ge 1/2\} para coordenadas esféricas e fornecer uma figura esquemática.

Passo 2

Definição e fórmulas de conversão (muito importantes — decore o sentido físico delas):
  • Em coordenadas esféricas usamos \rho (distância ao origem), \theta (ângulo azimutal no plano xy) e \varphi (ângulo polar contado a partir do eixo z positivo). Ou seja:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • Domínios típicos: 0\le \rho, 0\le \theta<2\pi, 0\le \varphi\le\pi.
    Expliquei cada variável: \rho é a distância do ponto ao centro; \varphi mede “quão inclinado” em relação ao eixo z (ângulo desde o polo norte); \theta gira ao redor do eixo z.

Passo 3

Escrever a condição da região em coordenadas cartesianas e traduzir para esféricas:
  • Em Cartesianas a região é
\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1,\; z\ge 1/2\}.
  • Substituindo z=\rho\cos\varphi e a condição da esfera \rho\le 1 (porque x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}), obtemos as duas desigualdades fundamentais:
\rho\le 1\qquad\text{e}\qquad \rho\cos\varphi \ge \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Isolar \rho na desigualdade \rho\cos\varphi \ge \tfrac{1}{2}:
  • Se \cos\varphi>0 (isto é, \varphi entre 0 e \tfrac{\pi}{2}), podemos dividir por \cos\varphi e obter
\rho \ge \frac{1}{2\cos\varphi}.
  • Como estamos dentro da bola, também precisamos de \rho\le 1. Portanto, para um dado \varphi deve valer
\frac{1}{2\cos\varphi}\le \rho\le 1,
desde que esse intervalo faça sentido (isto é, \frac{1}{2\cos\varphi}\le 1).

Passo 5

Determinar os valores possíveis de \varphi a partir da condição de existência de pontos com \rho\le 1:
  • A condição \frac{1}{2\cos\varphi}\le 1 equivale a \cos\varphi \ge \tfrac{1}{2}.
  • Logo
0\le \varphi \le \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{\pi}{3}.
  • Para \varphi>\tfrac{\pi}{3} não existe \rho\le 1 que satisfaça \rho\cos\varphi\ge \tfrac{1}{2}, então esses \varphi não fazem parte da calota. O ângulo azimutal \theta percorre toda a volta:
0\le \theta<2\pi.

Passo 6

Resumo das desigualdades finais (a forma canônica que você deve escrever numa prova):
  • O conjunto em coordenadas esféricas é dado por
\{(\rho,\theta,\varphi)\mid 0\le \theta<2\pi,\; 0\le \varphi\le \tfrac{\pi}{3},\; \tfrac{1}{2\cos\varphi}\le \rho\le 1\}.
  • Observações rápidas para fixar a intuição:
    • No polo norte ( \varphi=0) temos \rho\ge \tfrac{1}{2}, ou seja \rho\in[\tfrac{1}{2},1]: isso corresponde à porção do eixo z de z=\tfrac{1}{2} até z=1.
    • No limite \varphi=\tfrac{\pi}{3} a cota inferior é \rho\ge 1, então apenas \rho=1 está presente: é o círculo de interseção entre a esfera e o plano z=\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Como desenhar (figura esquemática) — faça isto rápido na prova: desenhe um círculo representando a seção da esfera por um plano que passe pelo eixo z (seção meridional). Marque:
  • Centro na origem O.
  • Esfera de raio 1.
  • O polo norte em z=1.
  • O plano horizontal cortando a esfera em z=\tfrac{1}{2} — a interseção é um círculo de raio \sqrt{1-(1/2)^{2}}=\sqrt{3}/2.
  • A calota é a parte da esfera acima desse plano; na seção lateral aparece como a “tampa” superior entre z=1/2 e z=1.
Esboço ASCII muito simples (seção meridional x- z):
\n
z
^
| * (polo norte z=1)
| /
| /
| /
|----±------±—> x
_____/ (plano z=1/2 corta aqui; largura da base = \sqrt{3}/2 no eixo x)
\n
Legenda: a região acima do traço horizontal (plano z=\tfrac{1}{2}) dentro do contorno da esfera é a calota.

Resposta

\{(\rho,\theta,\varphi)\mid 0\le \theta<2\pi,\; 0\le \varphi\le \tfrac{\pi}{3},\; \tfrac{1}{2\cos\varphi}\le \rho\le 1\}

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