Descreva cada sólido abaixo por meio de desigualdades, usando coordenadas esféricas. Faça uma figura em cada caso.
A região delimitada pela calota de altura
e o plano
, na bola de raio 1 .
A região delimitada pela calota de altura
Passo 1
O enunciado pede: descrever por desigualdades, em coordenadas esféricas, a região que é a calota da bola de raio
de altura
delimitada pelo plano
. Informações dadas e o que precisamos representar:
- A bola de raio
centrada na origem: . - A calota tem altura
. Para uma esfera de raio isso significa que a superfície da calota é a porção da esfera acima do plano . - O plano que delimita a base da calota é
. - Precisamos traduzir a região
para coordenadas esféricas e fornecer uma figura esquemática.
Passo 2
Definição e fórmulas de conversão (muito importantes — decore o sentido físico delas):
- Em coordenadas esféricas usamos
(distância ao origem), (ângulo azimutal no plano ) e (ângulo polar contado a partir do eixo positivo). Ou seja:
- Domínios típicos:
, , .
Expliquei cada variável:é a distância do ponto ao centro; mede “quão inclinado” em relação ao eixo (ângulo desde o polo norte); gira ao redor do eixo .
Passo 3
Escrever a condição da região em coordenadas cartesianas e traduzir para esféricas:
- Em Cartesianas a região é
- Substituindo
e a condição da esfera (porque ), obtemos as duas desigualdades fundamentais:
Passo 4
Isolar
na desigualdade
:
- Se
(isto é, entre e ), podemos dividir por e obter
- Como estamos dentro da bola, também precisamos de
. Portanto, para um dado deve valer
desde que esse intervalo faça sentido (isto é,
).
Passo 5
Determinar os valores possíveis de
a partir da condição de existência de pontos com
:
- A condição
equivale a . - Logo
- Para
não existe que satisfaça , então esses não fazem parte da calota. O ângulo azimutal percorre toda a volta:
Passo 6
Resumo das desigualdades finais (a forma canônica que você deve escrever numa prova):
- O conjunto em coordenadas esféricas é dado por
- Observações rápidas para fixar a intuição:
- No polo norte (
) temos , ou seja : isso corresponde à porção do eixo de até . - No limite
a cota inferior é , então apenas está presente: é o círculo de interseção entre a esfera e o plano .
- No polo norte (
Passo 7
Como desenhar (figura esquemática) — faça isto rápido na prova: desenhe um círculo representando a seção da esfera por um plano que passe pelo eixo
(seção meridional). Marque:
- Centro na origem
. - Esfera de raio
. - O polo norte em
. - O plano horizontal cortando a esfera em
— a interseção é um círculo de raio . - A calota é a parte da esfera acima desse plano; na seção lateral aparece como a “tampa” superior entre
e .
Esboço ASCII muito simples (seção meridional
-
):
\n
z
^
| * (polo norte z=1)
| /
| /
| /
|----±------±—> x
_____/ (plano z=1/2 corta aqui; largura da base = /2 no eixo x)
\n
Legenda: a região acima do traço horizontal (plano ) dentro do contorno da esfera é a calota.
\n
z
^
| * (polo norte z=1)
| /
| /
| /
|----±------±—> x
_____/ (plano z=1/2 corta aqui; largura da base =
\n
Legenda: a região acima do traço horizontal (plano