Descreva cada subgrupo (cíclico) a seguir:
\left\langle\left(\begin{array}{cc}-1 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right)\right\rangle do grupo multiplicativo \left(M_{2}(\mathbb{Q}), \cdot\right).

Passo 1

O que o exercício pede e o que temos:
  • Foi dada a matriz
A=\begin{pmatrix}-1 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
no grupo multiplicativo \left(M_{2}(\mathbb{Q}),\cdot\right).
  • A tarefa é descrever o subgrupo cíclico gerado por A, isto é \langle A\rangle=\{A^{n}\mid n\in\mathbb{Z}\}.
  • Informação relevante que temos: as entradas de A são racionais, então todos os produtos de potências de A ficam em M_{2}(\mathbb{Q}).
    Neste passo só listei o pedido e os dados; a resolução começa no passo seguinte.]

Passo 2

Definição e estratégia curta (sem resolver ainda):
  • Um subgrupo cíclico gerado por A é formado pelas potências inteiras de A. Para descrevê-lo preciso descobrir a ordem de A (se for finita) — i.e. o menor m>0 tal que A^{m}=I — ou mostrar que as potências são infinitas e caracterizá‑las.
  • Vou calcular traço e determinante de A, obter o polinômio característico, achar os autovalores e usar isso para entender as potências de A. Essas são ferramentas padrão para ver se A tem ordem finita.

Passo 3

Calcular traço, determinante e polinômio característico de A:
  • Traço: \operatorname{tr}(A)=(-1)+0=-1.
  • Determinante: \det(A)=(-1)\cdot 0 - (-1)\cdot 1 = 1.
  • Polinômio característico \chi_{A}(\lambda)=\lambda^{2} - (\operatorname{tr}A)\lambda + \det(A). Substituindo:
\chi_{A}(\lambda)=\lambda^{2} -(-1)\lambda + 1 = \lambda^{2}+\lambda+1.
Explicando: o polinômio característico de uma matriz 2\times2 é sempre \lambda^{2}-(\text{traço})\lambda+(\det)ç; ele nos diz os autovalores como raízes.

Passo 4

Encontrar os autovalores e interpretar:
  • Resolvend o quadrático \lambda^{2}+\lambda+1=0 obtemos
\lambda=\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.
  • Esses números são exatamente as raízes complexas da unidade de ordem 3: \lambda=e^{2\pi i/3} e \overline{\lambda}=e^{-2\pi i/3}. Logo cada autovalor satisfaz \lambda^{3}=1 e \lambda\neq1.
    Conclusão útil: o polinômio \lambda^{2}+\lambda+1 divide \lambda^{3}-1 porque \lambda^{3}-1=(\lambda-1)(\lambda^{2}+\lambda+1). Portanto a matriz A satisfaz o polinômio matricial
A^{2}+A+I=0,
ou seja A^{2}+A+I é a matriz nula. Isso será usado para obter potências de A.

Passo 5

Calcular explicitamente A^{2} (contas passo a passo):
Multiplicando A por A:
A^{2}= \begin{pmatrix}-1 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Fazendo as entradas uma a uma:
\begin{aligned} (A^{2})_{11}&=(-1)(-1)+(-1)(1)=1-1=0,\\[4pt] (A^{2})_{12}&=(-1)(-1)+(-1)(0)=1+0=1,\\[4pt] (A^{2})_{21}&=1\cdot(-1)+0\cdot1=-1+0=-1,\\[4pt] (A^{2})_{22}&=1\cdot(-1)+0\cdot0=-1+0=-1. \end{aligned}
Portanto
A^{2}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] -1 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular A^{3} e verificar se é a identidade:
Use A^{3}=A^{2}A. Multiplicando explicitamente:
A^{3}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] -1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Entradas:
\begin{aligned} (A^{3})_{11}&=0\cdot(-1)+1\cdot 1=1,\\[4pt] (A^{3})_{12}&=0\cdot(-1)+1\cdot 0=0,\\[4pt] (A^{3})_{21}&=(-1)(-1)+(-1)\cdot 1=1-1=0,\\[4pt] (A^{3})_{22}&=(-1)(-1)+(-1)\cdot 0=1+0=1. \end{aligned}
Logo
A^{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I.
Comentário: isto confirma o que a análise do polinômio sugeriu, já que A satisfaz A^{2}+A+I=0, que rearranjado dá A^{3}=I.]

Passo 7

Mostrar que a ordem de A é exatamente 3 (não menor):
  • Verificar que A\neq I porque suas entradas não coincidem com as de I.
  • Verificar que A^{2}\neq I porque A^{2}=\begin{pmatrix}0&1\\\ -1&-1\end{pmatrix} que não é igual a I.
  • Como A^{3}=I e não há potência menor positiva que dê I, a ordem de A é 3. Portanto o subgrupo gerado por A tem exatamente três elementos.

Passo 8

Descrever explicitamente o subgrupo cíclico e observar estrutura abstrata:
  • O subgrupo é
\langle A\rangle=\{I,\;A,\;A^{2}\},
onde
I=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\qquad A=\begin{pmatrix}-1 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\qquad A^{2}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] -1 & -1\end{pmatrix}.
  • Abstratamente, \langle A\rangle é um grupo cíclico de ordem 3, portanto isomorfo a \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}. Também vale A^{-1}=A^{2}.]

Resposta

\displaystyle \left\langle\begin{pmatrix}-1 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\right\rangle=\left\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}-1 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] -1 & -1\end{pmatrix}\right\}]

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