Descreva cada subgrupo (cíclico) a seguir: \left\langle\left(\begin{array}{cc}-1 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right)\right\rangle do grupo multiplicativo \left(M_{2}(\mathbb{Q}), \cdot\right).
no grupo multiplicativo \left(M_{2}(\mathbb{Q}),\cdot\right).
A tarefa é descrever o subgrupo cíclico gerado por A, isto é \langle A\rangle=\{A^{n}\mid n\in\mathbb{Z}\}.
Informação relevante que temos: as entradas de A são racionais, então todos os produtos de potências de A ficam em M_{2}(\mathbb{Q}).
Neste passo só listei o pedido e os dados; a resolução começa no passo seguinte.]
Passo 2
Definição e estratégia curta (sem resolver ainda):
Um subgrupo cíclico gerado por A é formado pelas potências inteiras de A. Para descrevê-lo preciso descobrir a ordem de A (se for finita) — i.e. o menor m>0 tal que A^{m}=I — ou mostrar que as potências são infinitas e caracterizá‑las.
Vou calcular traço e determinante de A, obter o polinômio característico, achar os autovalores e usar isso para entender as potências de A. Essas são ferramentas padrão para ver se A tem ordem finita.
Passo 3
Calcular traço, determinante e polinômio característico de A:
Explicando: o polinômio característico de uma matriz 2\times2 é sempre \lambda^{2}-(\text{traço})\lambda+(\det)ç; ele nos diz os autovalores como raízes.
Passo 4
Encontrar os autovalores e interpretar:
Resolvend o quadrático \lambda^{2}+\lambda+1=0 obtemos
Esses números são exatamente as raízes complexas da unidade de ordem 3: \lambda=e^{2\pi i/3} e \overline{\lambda}=e^{-2\pi i/3}. Logo cada autovalor satisfaz \lambda^{3}=1 e \lambda\neq1.
Conclusão útil: o polinômio \lambda^{2}+\lambda+1 divide \lambda^{3}-1 porque \lambda^{3}-1=(\lambda-1)(\lambda^{2}+\lambda+1). Portanto a matriz A satisfaz o polinômio matricial
A^{2}+A+I=0,
ou seja A^{2}+A+I é a matriz nula. Isso será usado para obter potências de A.
Passo 5
Calcular explicitamente A^{2} (contas passo a passo):
Multiplicando A por A: