Informações relevantes dadas diretamente no enunciado (peguei da própria definição da permutação): para cada i\in\{1,\dots,10\} tem-se a imagem \sigma(i) dada pela segunda linha. Por exemplo \sigma(1)=8, \sigma(2)=7, \sigma(3)=5, etc.
Passo 2
Vamos escrever \sigma em notação de ciclos — isso facilita achar a ordem e potências. Para decompor em ciclos, pegamos o menor elemento ainda não usado e percorremos suas imagens até voltar ao ponto inicial.
Todos os elementos 1,\dots,10 já aparecem em algum ciclo. Assim a decomposição em ciclos disjuntos é
\sigma=(1\;8\;6\;10)(2\;7)(3\;5\;4\;9).
Passo 3
Explicando um pouco a ideia: um ciclo (a_1\;a_2\;\dots\;a_k) significa que \sigma(a_1)=a_2, \sigma(a_2)=a_3, \dots, \sigma(a_k)=a_1. Ciclos disjuntos com elementos distintos comutam entre si, por isso podemos escrever \sigma como produto desses ciclos.
Aqui temos três ciclos disjuntos cujas comprimentos são 4, 2 e 4.
Passo 4
Definição e regra para a ordem: a ordem de uma permutação escrita como produto de ciclos disjuntos é o mínimo inteiro positivo m tal que \sigma^{m}=\text{id}. Esse m é o mínimo múltiplo comum (mmc, lcm) dos comprimentos dos ciclos disjuntos.
Calculemos: \operatorname{lcm}(4,2,4)=4 (porque 4 já é múltiplo de 2 e de 4). Portanto a ordem de \sigma é 4.
Passo 5
Agora queremos \sigma^{2023}. Uso a propriedade de que se \operatorname{ord}(\sigma)=4 então \sigma^{4}=\text{id}, e assim potências repetem com período 4. Logo basta reduzir o expoente módulo 4.
Calcule o resto de 2023 por 4:
2023 = 4\cdot 505 + 3,
portanto 2023 \equiv 3 \pmod{4}. Assim
\sigma^{2023}=\sigma^{3}.
Passo 6
Regra prática para potências de ciclos:
Se C=(a_1\;a_2\;\dots\;a_k) é um ciclo de comprimento k, então C^m envia a_i para a_{i+m} (índices tomados módulo k). Em particular, se m\equiv -1\pmod{k} então C^m=C^{-1} (o ciclo inverso).
Para um 2-ciclo (u\;v) temos (u\;v)^2=\text{id}, e (u\;v)^3=(u\;v), etc.
Aqui, como \sigma=(1\;8\;6\;10)(2\;7)(3\;5\;4\;9) e queremos \sigma^{3}, podemos elevar cada ciclo à terceira potência (ciclos disjuntos comutam):
Para o ciclo (1\;8\;6\;10) de comprimento 4, 3\equiv -1\pmod{4}, então (1\;8\;6\;10)^3=(1\;8\;6\;10)^{-1}=(1\;10\;6\;8). (Verificação: \sigma^3(1)=10, \sigma^3(10)=6, etc.)
Para o ciclo (2\;7) de comprimento 2, 3\equiv1\pmod{2}, então (2\;7)^3=(2\;7).
Para o ciclo (3\;5\;4\;9) de comprimento 4, novamente (3\;5\;4\;9)^3=(3\;5\;4\;9)^{-1}=(3\;9\;4\;5).
Multiplicando (isto é, compondo) esses ciclos disjuntos obtemos
\sigma^{3}=(1\;10\;6\;8)(2\;7)(3\;9\;4\;5).
Se for útil ver \sigma^{2023} na forma de imagem (duas linhas), a partir desse ciclo temos: