Sabendo que
é um grupo isomorfo ao grupo multiplicativo
, faça o que se pede:
a) Construa uma tábua para
.
b) Calcule
e
.
c) Resolva, em
, a equação
.
a) Construa uma tábua para
b) Calcule
c) Resolva, em
Passo 1
O enunciado dá que
é um grupo isomorfo ao grupo multiplicativo
. As tarefas pedidas são:
- (a) construir a tábua de multiplicação de
; - (b) calcular
e ; - (c) resolver, em
, a equação .
Informações relevantes fornecidas ou que podemos usar imediatamente:
-
com a operação multiplicação módulo . - Como
, trata-se de um grupo com quatro elementos; como é isomorfo a , existe uma bijeção que preserva a operação entre e . - Não foi dada uma correspondência explícita entre
e ; podemos escolher uma correspondência conveniente (isto é permitido porque só sabemos que existe um isomorfismo).
Passo 2
Escolha de um isomorfismo conveniente (explicação didática): como queremos construir a tábua e calcular potências/inversos de forma prática, escolho um isomorfismo simples
definindo
Por que isso é razoável e útil?
-
é uma bijeção entre os conjuntos de quatro elementos (cada elemento de tem uma imagem distinta em ). - Ao trabalhar em
com multiplicação módulo as contas ficam explícitas e simples; depois trazemos o resultado de volta para aplicando . - Exemplo para entender:
é um gerador de porque . Isso nos fornece relações úteis para preencher a tábua.
Regra prática que usaremos: se em
temos
(módulo
), então em
vale
. Usaremos isso para montar a tábua e calcular potências/inversos.
Passo 3
Construção da tábua via
. Primeiro faço a tábua numérica em
com multiplicação módulo
:
Cálculos (módulo
):
Agora aplico
(ou seja,
) para obter a tábua em
. Fazendo a correspondência linha a linha, a tábua de
é
(Exemplo de leitura: da tabela numérica vimos
, logo em
temos
.)
Passo 4
Cálculo de
. Pelo isomorfismo
, calculo
em
:
Aplicando
,
corresponde a
. Portanto
(Aula rápida: calcular potências em
é o mesmo que calcular potências dos correspondentes em
e voltar com
.)
Passo 5
Cálculo de
. Em
temos
. Primeiro encontro o inverso de
módulo
:
logo
. Assim
Aplicando
,
. Logo
(Observação: também se pode ver
; as contas dão o mesmo.)
Passo 6
Cálculo de
. Em
temos
. Note que
, então
tem ordem
. Mas, de modo geral, em um grupo finito de ordem
vale
para todo
, então também
. Calculando direto:
portanto
, logo em
Passo 7
Resolução da equação
.
Tradução para
: escrevo
. Usando as imagens que já calculei:
-
. -
já foi calculado: . -
: como e , . Logo .
A equação em
fica
Simplifico o lado esquerdo:
, então
Multiplico ambos os lados pelo inverso de
, que é
(pois
):
Assim
, portanto
é o inverso de
, ou seja
. Logo
, o que significa
.
Verificação rápida na tábua de
: com
,
(porque
na tábua), e
como já obtivemos; então
. E
(pois
), logo ambos os lados coincidem: solução está correta.