Sabendo que G=\{e, a, b, c\} é um grupo isomorfo ao grupo multiplicativo \left(\mathbb{Z}_{5}^{*}, \cdot\right), faça o que se pede:
a) Construa uma tábua para G.
b) Calcule a^{3}, b^{-2} e c^{-4}.
c) Resolva, em G, a equação a x^{-1} b^{-2}=c^{3}.

Passo 1

O enunciado dá que G=\{e,a,b,c\} é um grupo isomorfo ao grupo multiplicativo \left(\mathbb{Z}_{5}^{*},\cdot\right). As tarefas pedidas são:
  • (a) construir a tábua de multiplicação de G;
  • (b) calcular a^{3},\; b^{-2} e c^{-4};
  • (c) resolver, em G, a equação a\,x^{-1}\,b^{-2}=c^{3}.
Informações relevantes fornecidas ou que podemos usar imediatamente:
  • \mathbb{Z}_{5}^{*}=\{1,2,3,4\} com a operação multiplicação módulo 5.
  • Como \left|\mathbb{Z}_{5}^{*}\right|=4, trata-se de um grupo com quatro elementos; como G é isomorfo a \mathbb{Z}_{5}^{*}, existe uma bijeção que preserva a operação entre G e \mathbb{Z}_{5}^{*}.
  • Não foi dada uma correspondência explícita entre e,a,b,c e 1,2,3,4; podemos escolher uma correspondência conveniente (isto é permitido porque só sabemos que existe um isomorfismo).

Passo 2

Escolha de um isomorfismo conveniente (explicação didática): como queremos construir a tábua e calcular potências/inversos de forma prática, escolho um isomorfismo simples \varphi:G\to\mathbb{Z}_{5}^{*} definindo
\varphi(e)=1,\qquad \varphi(a)=2,\qquad \varphi(b)=3,\qquad \varphi\text{(c)}=4.
Por que isso é razoável e útil?
  • \varphi é uma bijeção entre os conjuntos de quatro elementos (cada elemento de G tem uma imagem distinta em \{1,2,3,4\}).
  • Ao trabalhar em \mathbb{Z}_{5}^{*} com multiplicação módulo 5 as contas ficam explícitas e simples; depois trazemos o resultado de volta para G aplicando \varphi^{-1}.
  • Exemplo para entender: 2 é um gerador de \mathbb{Z}_{5}^{*} porque 2^{1}=2,\;2^{2}=4,\;2^{3}=8\equiv3,\;2^{4}=16\equiv1\pmod{5}. Isso nos fornece relações úteis para preencher a tábua.
Regra prática que usaremos: se em \mathbb{Z}_{5}^{*} temos u\cdot v = w (módulo 5), então em G vale \varphi^{-1}(u)\,\varphi^{-1}(v)=\varphi^{-1}(w). Usaremos isso para montar a tábua e calcular potências/inversos.

Passo 3

Construção da tábua via \mathbb{Z}_{5}^{*}. Primeiro faço a tábua numérica em \{1,2,3,4\} com multiplicação módulo 5:
Cálculos (módulo 5):
\begin{array}{c|cccc} \cdot & 1 & 2 & 3 & 4\\hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 2 & 2 & 4 & 1 & 3\\\\ 3 & 3 & 1 & 4 & 2\\\\ 4 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}
Agora aplico \varphi^{-1} (ou seja, 1\mapsto e,\;2\mapsto a,\;3\mapsto b,\;4\mapsto c) para obter a tábua em G. Fazendo a correspondência linha a linha, a tábua de G é
\begin{array}{c|cccc} \cdot & e & a & b & c\\hline e & e & a & b & c\\\ a & a & c & e & b\\\ b & b & e & c & a\\\ c & c & b & a & e \end{array}
(Exemplo de leitura: da tabela numérica vimos 2\cdot3\equiv1\pmod5, logo em G temos a\cdot b = e.)

Passo 4

Cálculo de a^{3}. Pelo isomorfismo \varphi(a)=2, calculo 2^{3} em \mathbb{Z}_{5}^{*}:
2^{3}=8\equiv3\pmod{5}.
Aplicando \varphi^{-1}, 3 corresponde a b. Portanto
a^{3}=b.
(Aula rápida: calcular potências em G é o mesmo que calcular potências dos correspondentes em \mathbb{Z}_{5}^{*} e voltar com \varphi^{-1}.)

Passo 5

Cálculo de b^{-2}. Em \mathbb{Z}_{5}^{*} temos \varphi(b)=3. Primeiro encontro o inverso de 3 módulo 5:
3\cdot 2=6\equiv1\pmod{5},
logo 3^{-1}\equiv2\pmod{5}. Assim
3^{-2}=(3^{-1})^{2}=2^{2}=4\pmod{5}.
Aplicando \varphi^{-1}, 4\mapsto c. Logo
b^{-2}=c.
(Observação: também se pode ver b^{-2}=(b^{2})^{-1}; as contas dão o mesmo.)

Passo 6

Cálculo de c^{-4}. Em \mathbb{Z}_{5}^{*} temos \varphi\text{(c)}=4. Note que 4^{2}=16\equiv1\pmod{5}, então 4 tem ordem 2. Mas, de modo geral, em um grupo finito de ordem 4 vale x^{4}=e para todo x, então também x^{-4}=e. Calculando direto:
4^{4}=(4^{2})^{2}\equiv 1^{2}\equiv1\pmod{5},
portanto 4^{-4}=1, logo em G
c^{-4}=e.

Passo 7

Resolução da equação a\,x^{-1}\,b^{-2}=c^{3}.
Tradução para \mathbb{Z}_{5}^{*}: escrevo y=\varphi(x)\in\{1,2,3,4\}. Usando as imagens que já calculei:
  • \varphi(a)=2.
  • \varphi(b^{-2}) já foi calculado: b^{-2}\mapsto 4.
  • \varphi(c^{3}): como \varphi\text{(c)}=4 e 4^{2}\equiv1, 4^{3}\equiv4. Logo \varphi(c^{3})=4.
A equação em \mathbb{Z}_{5}^{*} fica
2\cdot y^{-1}\cdot 4 \equiv 4\pmod{5}.
Simplifico o lado esquerdo: 2\cdot4=8\equiv3, então
3\cdot y^{-1}\equiv4\pmod{5}.
Multiplico ambos os lados pelo inverso de 3, que é 2 (pois 3\cdot2\equiv1):
y^{-1}\equiv 2\cdot4\equiv8\equiv3\pmod{5}.
Assim y^{-1}\equiv3, portanto y é o inverso de 3, ou seja y\equiv2. Logo \varphi(x)=2, o que significa x=\varphi^{-1}(2)=a.
Verificação rápida na tábua de G: com x=a, x^{-1}=a^{-1}=b (porque a\cdot b=e na tábua), e b^{-2}=c como já obtivemos; então a\,x^{-1}\,b^{-2}=a\cdot b\cdot c = e\cdot c = c. E c^{3}=c (pois c^{2}=e), logo ambos os lados coincidem: solução está correta.

Resposta

\begin{array}{c|cccc} \cdot & e & a & b & c\\hline e & e & a & b & c\\\ a & a & c & e & b\\\ b & b & e & c & a\\\ c & c & b & a & e \end{array}
a^{3}=b,\qquad b^{-2}=c,\qquad c^{-4}=e
x=a

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