Seja G um grupo e a \in \mathrm{G}. Mostre que f: \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G} definida por f(x)=a^{-1} x a é um isomorfismo de G em G (neste caso, f é denominado automorfismo de G ).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede algo bem claro.
  • Dados: G é um grupo e a\in G.
  • Define-se a função f\colon G\to G por f(x)=a^{-1} x a para todo x\in G. (Observe que peguei a fórmula da função do enunciado.)
  • Pedido: mostrar que f é um isomorfismo de G em G. Em outras palavras, provar que f é um homomorfismo de grupos e que é bijetora. Quando uma bijeção é também homomorfismo entre um grupo e ele mesmo, chamamos f de automorfismo.

Passo 2

Lembrete do que precisamos provar (definição, explicada passo a passo):
  • Homomorfismo: uma função f\colon G\to G é homomorfismo de grupos se, para todo x,y\in G,
f(xy)=f(x)\,f(y).
Aqui xy é o produto em G, e a multiplicação à direita também é a da mesma estrutura de grupo.
  • Bijetividade: mostrar que f é injetora e sobrejetora. Uma forma prática e elegante é apresentar explicitamente uma função g\colon G\to G tal que g\circ f=\mathrm{id}_G e f\circ g=\mathrm{id}_G; isso mostra que g é a inversa de f e, então, f é bijetora.

Passo 3

Provar que f preserva a operação (é homomorfismo). Tomemos x,y\in G quaisquer e calculemos f(xy) e f(x)f(y).
  • Primeiro,
f(xy)=a^{-1}(xy)a,
pela definição de f.
  • Agora calcule f(x)f(y). Pela definição,
f(x)f(y)=(a^{-1} x a)\,(a^{-1} y a).
Usando associatividade do produto em G (essa propriedade vale para todo grupo) podemos agrupar como
(a^{-1} x a)\,(a^{-1} y a)=a^{-1} x \bigl(a a^{-1}\bigr) y a.
Mas a a^{-1} é a identidade e do grupo, então \bigl(a a^{-1}\bigr)=e. E multiplicar por e não muda nada, portanto
a^{-1} x \bigl(a a^{-1}\bigr) y a = a^{-1} x e y a = a^{-1} x y a.
Comparando com f(xy)=a^{-1}(xy)a, vemos que
f(xy)=a^{-1} x y a = f(x)f(y).
Concluímos que f é um homomorfismo de grupos.

Passo 4

Construir a inversa explícita e mostrar que composições dão identidade (isso prova bijetividade).
Defina g\colon G\to G por
g(x)=a x a^{-1}\quad\text{para todo }x\in G.
Vamos verificar que g é inversa de f, ou seja, que g(f(x))=x e f(g(x))=x para todo x\in G.
  • Calcule g(f(x)):
g(f(x))=g\bigl(a^{-1} x a\bigr)=a\bigl(a^{-1} x a\bigr)a^{-1}.
Usando associatividade e a a^{-1}=e e a^{-1} a = e, agrupamos:
a\bigl(a^{-1} x a\bigr)a^{-1}=\bigl(a a^{-1}\bigr) x \bigl(a a^{-1}\bigr)=e\,x\,e=x.
Logo g\circ f=\mathrm{id}_G.
  • Calcule f(g(x)):
f(g(x))=f\bigl(a x a^{-1}\bigr)=a^{-1}\bigl(a x a^{-1}\bigr)a.
De novo, usando associatividade e a^{-1}a=e,
a^{-1}\bigl(a x a^{-1}\bigr)a=\bigl(a^{-1}a\bigr) x \bigl(a^{-1}a\bigr)=e\,x\,e=x.
Logo f\circ g=\mathrm{id}_G.
Como existe g tal que g\circ f=\mathrm{id} e f\circ g=\mathrm{id}, a função f é bijetora e g é sua inversa.

Passo 5

Resumo e interpretação final do que já mostramos, em linguagem amigável:
  • Provamos que f preserva o produto em G, ou seja, é homomorfismo.
  • Construímos explicitamente g(x)=a x a^{-1} e mostramos que g é a inversa de f; portanto f é bijetora.
  • Homomorfismo bijetor = isomorfismo. Como a aplicação vai de G para G (mesmo grupo), é um automorfismo de G.
  • Observação intuitiva: f é a conjugação por a; essa é uma construção padrão chamada automorfismo interior (ou automorfismo por conjugação).

Resposta

A transformação f definida por f(x)=a^{-1} x a é um isomorfismo de G em G; sua inversa é f^{-1}(x)=a x a^{-1}, logo f é um automorfismo de G.

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