Seja G um grupo e
. Mostre que
definida por
a é um isomorfismo de G em G (neste caso,
é denominado automorfismo de G ).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede algo bem claro.
- Dados:
é um grupo e . - Define-se a função
por para todo . (Observe que peguei a fórmula da função do enunciado.) - Pedido: mostrar que
é um isomorfismo de em . Em outras palavras, provar que é um homomorfismo de grupos e que é bijetora. Quando uma bijeção é também homomorfismo entre um grupo e ele mesmo, chamamos de automorfismo.
Passo 2
Lembrete do que precisamos provar (definição, explicada passo a passo):
- Homomorfismo: uma função
é homomorfismo de grupos se, para todo ,
Aqui
é o produto em
, e a multiplicação à direita também é a da mesma estrutura de grupo.
- Bijetividade: mostrar que
é injetora e sobrejetora. Uma forma prática e elegante é apresentar explicitamente uma função tal que e ; isso mostra que é a inversa de e, então, é bijetora.
Passo 3
Provar que
preserva a operação (é homomorfismo). Tomemos
quaisquer e calculemos
e
.
- Primeiro,
pela definição de
.
- Agora calcule
. Pela definição,
Usando associatividade do produto em
(essa propriedade vale para todo grupo) podemos agrupar como
Mas
é a identidade
do grupo, então
. E multiplicar por
não muda nada, portanto
Comparando com
, vemos que
Concluímos que
é um homomorfismo de grupos.
Passo 4
Construir a inversa explícita e mostrar que composições dão identidade (isso prova bijetividade).
Defina
por
Vamos verificar que
é inversa de
, ou seja, que
e
para todo
.
- Calcule
:
Usando associatividade e
e
, agrupamos:
Logo
.
- Calcule
:
De novo, usando associatividade e
,
Logo
.
Como existe
tal que
e
, a função
é bijetora e
é sua inversa.
Passo 5
Resumo e interpretação final do que já mostramos, em linguagem amigável:
- Provamos que
preserva o produto em , ou seja, é homomorfismo. - Construímos explicitamente
e mostramos que é a inversa de ; portanto é bijetora. - Homomorfismo bijetor = isomorfismo. Como a aplicação vai de
para (mesmo grupo), é um automorfismo de . - Observação intuitiva:
é a conjugação por ; essa é uma construção padrão chamada automorfismo interior (ou automorfismo por conjugação).
Resposta
A transformação
definida por
é um isomorfismo de
em
; sua inversa é
, logo
é um automorfismo de
.