Descreva as classe de equivalência e os conjuntos quocientes em relação a \sim induzida pelas seguintes funções:
(b) \begin{aligned} f: \mathbb{Z} & \rightarrow \mathbb{Z} \\\ x & \mapsto x^{2}-7 x+10\end{aligned}

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z},\quad f(x)=x^2-7x+10
e pede a relação de equivalência \sim gerada por
x\sim y\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)=f(y),
além das classes de equivalência e do conjunto quociente \mathbb{Z}/\!\sim. O conteúdo aqui é “relação de equivalência induzida por função” e usaremos álgebra elementar para resolver f(x)=f(y).

Passo 2

Igualamos f(x) e f(y):
f(x)=f(y) \;\Longrightarrow\; x^2-7x+10 \;=\; y^2-7y+10 \;\Longrightarrow\; x^2 -y^2 \;-\;7(x-y)=0.
Colocando em fator comum, obtemos
(x-y)(x+y-7)=0.

Passo 3

Da fatoração
(x-y)(x+y-7)=0
segue que f(x)=f(y) se, e somente se,
x-y=0 \quad\text{ou}\quad x+y-7=0.
Isto é,
x\sim y \quad\Longleftrightarrow\quad x=y \quad\text{ou}\quad x+y=7.

Passo 4

Para um dado x\in\mathbb{Z}, a classe de equivalência [x] contém todos os y tais que y=x ou y=7-x. Como x=7-x daria 2x=7 sem solução inteira, cada classe tem exatamente dois elementos:
[x]=\{\,x,\;7-x\}.

Passo 5

O conjunto quociente \mathbb{Z}/\!\sim é o conjunto de todas essas classes:
\mathbb{Z}/\!\sim =\bigl\{\{\,x,7-x\}\mid x\in\mathbb{Z}\bigr\}.

Resposta

As classes de equivalência são
[x]=\{x,\,7-x\},
e o conjunto quociente é
\mathbb{Z}/\!\sim =\bigl\{\{x,7-x\}\mid x\in\mathbb{Z}\bigr\}.

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