Prove ou dê um contra exemplo: a união de ideias de \mathbb{Z} é um ideal de \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado um conjunto de ideais de \mathbb{Z}, sua união sempre é um ideal de \mathbb{Z}. O conteúdo é teoria de ideais em anéis: lembrar que um ideal em \mathbb{Z} deve ser subgrupo sob adição e fechado sob multiplicação por qualquer inteiro.

Passo 2

Em \mathbb{Z}, todo ideal é da forma n\mathbb{Z}=\{nk\mid k\in\mathbb{Z}\}. Para a união de dois ideais I e J ser ideal, ela precisa, em particular, ser fechada sob soma: se a\in I e b\in J, então a+b deveria pertencer a I\cup J.

Passo 3

Escolhemos o contraexemplo com
I = 2\mathbb{Z} \qquad\text{e}\qquad J = 3\mathbb{Z}.
Aqui 2\in I e 3\in J, mas
2 + 3 = 5
não pertence nem a 2\mathbb{Z} nem a 3\mathbb{Z}. Logo
5 \notin I\cup J,
logo I\cup J não é fechado sob soma e, portanto, não é ideal.

Resposta

A união de ideais de \mathbb{Z} não é, em geral, um ideal. O par \,2\mathbb{Z} e 3\mathbb{Z} dá um contraexemplo clássico.

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