Prove ou dê um contra exemplo: a união de ideias de
é um ideal de
.
Passo 1
O enunciado pergunta se, dado um conjunto de ideais de
, sua união sempre é um ideal de
. O conteúdo é teoria de ideais em anéis: lembrar que um ideal em
deve ser subgrupo sob adição e fechado sob multiplicação por qualquer inteiro.
Passo 2
Em
, todo ideal é da forma
. Para a união de dois ideais
e
ser ideal, ela precisa, em particular, ser fechada sob soma: se
e
, então
deveria pertencer a
.
Passo 3
Escolhemos o contraexemplo com
Aqui
e
, mas
não pertence nem a
nem a
. Logo
logo
não é fechado sob soma e, portanto, não é ideal.
Resposta
A união de ideais de
não é, em geral, um ideal. O par
e
dá um contraexemplo clássico.