5- Prove que a equação
tem pelo menos uma solução real (Utilize o teorema de Bolzano).
Passo 1
O enunciado pede para provar que a equação
tem pelo menos uma solução real. O conteúdo principal é o Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário), que diz que se uma função contínua muda de sinal num intervalo, então ela zera nesse intervalo. Como
é um polinômio, vamos usar continuidade de polinômios e busca de sinais opostos em dois pontos.
Passo 2
Definimos a função
Sabemos que todo polinômio é contínuo em
. Logo,
é contínua em qualquer intervalo de
, em particular em
.
Passo 3
Para aplicar Bolzano, precisamos encontrar
e
tais que
. Vamos testar em
e
.
Passo 4
Calculamos os valores de
nesses pontos:
Logo,
e
, o que garante mudança de sinal.
Passo 5
Pelo Teorema de Bolzano, como
é contínua em
e
, existe pelo menos um
tal que
Resposta
A equação
tem pelo menos uma solução real em
.