5- Prove que a equação x^{5}+x+1=0 tem pelo menos uma solução real (Utilize o teorema de Bolzano).

Passo 1

O enunciado pede para provar que a equação
x^{5} + x + 1 = 0
tem pelo menos uma solução real. O conteúdo principal é o Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário), que diz que se uma função contínua muda de sinal num intervalo, então ela zera nesse intervalo. Como x^{5}+x+1 é um polinômio, vamos usar continuidade de polinômios e busca de sinais opostos em dois pontos.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = x^{5} + x + 1.
Sabemos que todo polinômio é contínuo em \mathbb{R}. Logo, f é contínua em qualquer intervalo de \mathbb{R}, em particular em [-1,0].

Passo 3

Para aplicar Bolzano, precisamos encontrar a e b tais que f(a)\cdot f(b)<0. Vamos testar em a = -1 e b = 0.

Passo 4

Calculamos os valores de f nesses pontos:
f(-1) = (-1)^{5} + (-1) + 1 = -1 -1 +1 = -1 < 0,
f(0) = 0^{5} + 0 + 1 = 1 > 0.
Logo, f(-1)<0 e f(0)>0, o que garante mudança de sinal.

Passo 5

Pelo Teorema de Bolzano, como f é contínua em [-1,0] e f(-1)\cdot f(0)<0, existe pelo menos um c\in(-1,0) tal que
f\text{(c)} = 0.

Resposta

A equação x^{5}+x+1=0 tem pelo menos uma solução real em (-1,0).

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