Seja
um conjunto não vazio e
o conjunto das partes de
. Dizemos que um conjunto não vazio
é uma partição do conjunto
se:
(i)
(ii)
Prove que: se
e definimos
tal que
, então
define uma relação de equivalência em
. Mais ainda
.
(i)
(ii)
Passo 1
O enunciado trata de mostrar que, dada uma partição
de um conjunto não vazio
, a relação
é uma relação de equivalência em
e que o conjunto quociente
coincide com
.
Conteúdo: definições de partição, relação de equivalência (reflexiva, simétrica, transitiva) e quociente de uma relação de equivalência.
Conteúdo: definições de partição, relação de equivalência (reflexiva, simétrica, transitiva) e quociente de uma relação de equivalência.
Passo 2
Provar que
é reflexiva.
Como cobre
(
), para todo
existe
com
. Logo
, isto é,
. Portanto
é reflexiva.
Como
Passo 3
Provar que
é simétrica.
Suponha . Então existe
com
. Mas isso implica
, daí
. Portanto
é simétrica.
Suponha
Passo 4
Provar que
é transitiva.
Suponha e
. Então existem
tais que
Suponha
Como
e diferentes blocos de uma partição são disjuntos, segue que
. Logo
, o que dá
. Assim
é transitiva.
Passo 5
Mostrar que
.
Para cada classe de equivalência definimos
Para cada classe de equivalência
onde
é o único bloco de
contendo
.
-
está bem definida porque se então , logo estão no mesmo bloco, e esse bloco é único. -
é injetora: se então , daí e pertencem ao mesmo bloco, logo . -
é sobrejetora: dado qualquer , escolhemos ; então .
Portanto
é bijetora e
pode ser identificado com
.
Resposta
A relação
é reflexiva, simétrica e transitiva, logo é uma equivalência em
, e o conjunto quociente
coincide exatamente com
.