Seja A um conjunto não vazio e P(A) o conjunto das partes de A. Dizemos que um conjunto não vazio \mathbb{P} \subset P(A) é uma partição do conjunto A se:
(i) \forall B_{1}, B_{2} \in \mathbb{P}, B_{1} \neq B_{2} \Rightarrow B_{1} \cap B_{2}=\emptyset
(ii) \bigcup_{B \in \mathbb{P}}=A
Prove que: se x, y \in A e definimos x \sim y \Leftrightarrow \exists B \in \mathbb{P} tal que x, y \in B, então \sim define uma relação de equivalência em A. Mais ainda A / \sim=\mathbb{P}.

Passo 1

O enunciado trata de mostrar que, dada uma partição \mathbb{P} de um conjunto não vazio A, a relação
x \sim y \;\Leftrightarrow\; \exists\,B\in\mathbb{P}\text{ tal que }x,y\in B
é uma relação de equivalência em A e que o conjunto quociente A/{\sim} coincide com \mathbb{P}.
Conteúdo: definições de partição, relação de equivalência (reflexiva, simétrica, transitiva) e quociente de uma relação de equivalência.

Passo 2

Provar que \sim é reflexiva.
Como \mathbb{P} cobre A ( \bigcup_{B\in\mathbb{P}}B=A), para todo x\in A existe B\in\mathbb{P} com x\in B. Logo x,x\in B, isto é, x\sim x. Portanto \sim é reflexiva.

Passo 3

Provar que \sim é simétrica.
Suponha x\sim y. Então existe B\in\mathbb{P} com x,y\in B. Mas isso implica y,x\in B, daí y\sim x. Portanto \sim é simétrica.

Passo 4

Provar que \sim é transitiva.
Suponha x\sim y e y\sim z. Então existem B_1,B_2\in\mathbb{P} tais que
x,y\in B_1 \quad\text{e}\quad y,z\in B_2.
Como y\in B_1\cap B_2 e diferentes blocos de uma partição são disjuntos, segue que B_1=B_2. Logo x,y,z\in B_1, o que dá x\sim z. Assim \sim é transitiva.

Passo 5

Mostrar que A/{\sim}=\mathbb{P}.
Para cada classe de equivalência [x]\subset A definimos
\varphi\colon A/{\sim}\;\longrightarrow\;\mathbb{P}, \qquad \varphi([x]) = B_x,
onde B_x é o único bloco de \mathbb{P} contendo x.
  1. \varphi está bem definida porque se [x]=[y] então x\sim y, logo x,y estão no mesmo bloco, e esse bloco é único.
  2. \varphi é injetora: se \varphi([x])=\varphi([y]) então B_x=B_y, daí x e y pertencem ao mesmo bloco, logo [x]=[y].
  3. \varphi é sobrejetora: dado qualquer B\in\mathbb{P}, escolhemos x\in B; então \varphi([x])=B.
Portanto \varphi é bijetora e A/{\sim} pode ser identificado com \mathbb{P}.

Resposta

A relação \sim é reflexiva, simétrica e transitiva, logo é uma equivalência em A, e o conjunto quociente A/{\sim} coincide exatamente com \mathbb{P}.

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