Descreva condições necessárias e suficientes para que um sistema de equações tenha zero, uma ou infinita soluções (utilizando o posto da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descrever as condições necessárias e suficientes para que um sistema de equações tenha zero, uma ou infinitas soluções. Para isso, vamos usar o conceito de posto da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada. Vamos precisar entender o que é posto de uma matriz e como ele se relaciona com as soluções de um sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o posto de uma matriz. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes. Em outras palavras, é a dimensão do espaço gerado pelas colunas da matriz.

Passo 3

Agora, vamos definir duas matrizes importantes no contexto de um sistema de equações lineares:
  1. Matriz dos Coeficientes (A): É a matriz formada apenas pelos coeficientes das variáveis nas equações.
  2. Matriz Ampliada (A|B): É a matriz dos coeficientes A acrescida da coluna dos termos independentes (B).

Passo 4

O próximo passo é entender como o posto dessas matrizes afeta as soluções do sistema:
  • Sistema Possui Solução Única: Isso acontece quando o posto da matriz dos coeficientes (r(A)) é igual ao posto da matriz ampliada (r(A|B)) e esse posto é igual ao número de variáveis do sistema (n).
    r(A) = r(A|B) = n
  • Sistema Possui Infinitas Soluções: Isso ocorre quando o posto das matrizes A e (A|B) são iguais, mas menores que o número de variáveis.
    r(A) = r(A|B) < n
  • Sistema Não Possui Solução (Inconsistente): Neste caso, o posto da matriz ampliada é maior que o posto da matriz dos coeficientes.
    r(A) < r(A|B)

Passo 5

Vamos detalhar cada caso:
  1. Solução Única:
    • Explicação: Se o posto é igual ao número de variáveis, significa que todas as variáveis estão determinadas de forma única pelas equações. Não há “graça” para variações.
  2. Infinitas Soluções:
    • Explicação: Se o posto é menor que o número de variáveis, há variáveis livres que podem assumir qualquer valor, gerando infinitas soluções.
  3. Sem Solução:
    • Explicação: Se o posto da matriz ampliada é maior que o da matriz dos coeficientes, significa que as equações são inconsistentes entre si, ou seja, não há valores que satisfaçam todas simultaneamente.

Resposta

Portanto, as condições necessárias e suficientes para que um sistema de equações tenha:
  • Solução Única:
  • Infinitas Soluções:
  • Sem Solução:
Onde é o posto da matriz dos coeficientes, é o posto da matriz ampliada e é o número de variáveis do sistema.

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