Descreva condições necessárias e suficientes para que um sistema de equações tenha zero, uma ou infinita soluções (utilizando o posto da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descrever as condições necessárias e suficientes para que um sistema de equações tenha zero, uma ou infinitas soluções. Para isso, vamos usar o conceito de posto da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada. Vamos precisar entender o que é posto de uma matriz e como ele se relaciona com as soluções de um sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o posto de uma matriz. O posto de uma matriz é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes. Em outras palavras, é a dimensão do espaço gerado pelas colunas da matriz.
Passo 3
Agora, vamos definir duas matrizes importantes no contexto de um sistema de equações lineares:
- Matriz dos Coeficientes (A): É a matriz formada apenas pelos coeficientes das variáveis nas equações.
- Matriz Ampliada (A|B): É a matriz dos coeficientes A acrescida da coluna dos termos independentes (B).
Passo 4
O próximo passo é entender como o posto dessas matrizes afeta as soluções do sistema:
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Sistema Possui Solução Única: Isso acontece quando o posto da matriz dos coeficientes (r(A)) é igual ao posto da matriz ampliada (r(A|B)) e esse posto é igual ao número de variáveis do sistema (n).
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Sistema Possui Infinitas Soluções: Isso ocorre quando o posto das matrizes A e (A|B) são iguais, mas menores que o número de variáveis.
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Sistema Não Possui Solução (Inconsistente): Neste caso, o posto da matriz ampliada é maior que o posto da matriz dos coeficientes.
Passo 5
Vamos detalhar cada caso:
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Solução Única:
- Explicação: Se o posto é igual ao número de variáveis, significa que todas as variáveis estão determinadas de forma única pelas equações. Não há “graça” para variações.
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Infinitas Soluções:
- Explicação: Se o posto é menor que o número de variáveis, há variáveis livres que podem assumir qualquer valor, gerando infinitas soluções.
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Sem Solução:
- Explicação: Se o posto da matriz ampliada é maior que o da matriz dos coeficientes, significa que as equações são inconsistentes entre si, ou seja, não há valores que satisfaçam todas simultaneamente.
Resposta
Portanto, as condições necessárias e suficientes para que um sistema de equações tenha:
- Solução Única:
- Infinitas Soluções:
- Sem Solução:
Onde
é o posto da matriz dos coeficientes,
é o posto da matriz ampliada e
é o número de variáveis do sistema.