Encontre a inversa da matriz abaixo (utilizando a matriz dos cofatores):
[lll 1 & 0 & 2 1 & 1 & 4 2 & 2 & 4 ]

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz 3x3 e precisa encontrar a matriz inversa dela usando a matriz dos cofatores. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas operações. Para resolver isso, vamos precisar calcular os cofatores, a matriz adjunta e o determinante da matriz original.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz original. A matriz é:
1 & 0 & 2 1 & 1 & 4 2 & 2 & 4
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando os valores:
det(A) = 1(1 cdot 4 - 4 cdot 2) - 0(1 cdot 4 - 4 cdot 2) + 2(1 cdot 2 - 1 cdot 2)
det(A) = 1(4 - 8) - 0(4 - 8) + 2(2 - 2) = 1(-4) - 0(-4) + 2(0) = -4 + 0 + 0 = -4

Passo 3

Agora, vamos verificar se a matriz tem inversa. Se o determinante for diferente de zero, ela é invertível. Como , podemos seguir em frente.

Passo 4

Vamos encontrar a matriz dos cofatores. Para cada elemento da matriz, calculamos o cofactor, que é (-1)^{i+j} vezes o determinante da submatriz que fica quando removemos a linha i e a coluna j.
Vamos calcular cada cofactor:
  • Cofator 1 & 4 2 & 4 = (1)(4) - (4)(2) = 4 - 8 = -4 :
1 & 4 2 & 4 = (1)(4) - (4)(2) = 4 - 8 = -4
Como 1 & 1 2 & 2 = (1)(2) - (1)(2) = 2 - 2 = 0 , 0 & 2 2 & 4 = (0)(4) - (2)(2) = 0 - 4 = -4
  • Cofator 1 & 2 2 & 4 = (1)(4) - (2)(2) = 4 - 4 = 0 :
1 & 0 2 & 2 = (1)(2) - (0)(2) = 2 - 0 = 2
Como 0 & 2 1 & 4 = (0)(4) - (2)(1) = 0 - 2 = -2 , 1 & 2 1 & 4 = (1)(4) - (2)(1) = 4 - 2 = 2
  • Cofator 1 & 0 1 & 1 = (1)(1) - (0)(1) = 1 - 0 = 1 :
Como ,
  • Cofator :
Como ,
  • Cofator :
Como ,
  • Cofator :
Como ,
  • Cofator :
Como ,
  • Cofator :
Como ,
  • Cofator :
Como ,

Passo 5

Agora, montamos a matriz dos cofatores:
-4 & 4 & 0 4 & 0 & -2 -2 & -2 & 1
Depois, vamos transpor essa matriz para obter a matriz adjunta:
Adj(A) = -4 & 4 & -2 4 & 0 & -2 0 & -2 & 1

Passo 6

Finalmente, para encontrar a matriz inversa, usamos a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A)
Sabemos que A^-1 = 1-4 cdot -4 & 4 & -2 4 & 0 & -2 0 & -2 & 1 = 1 & -1 & 0.5 -1 & 0 & 0.5 0 & 0.5 & -0.25 , então:

Resposta

A matriz inversa é:
A^-1 = 1 & -1 & 0.5 -1 & 0 & 0.5 0 & 0.5 & -0.25

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