Descreva o conjunto de pontos
no plano complexo que satisfazem as seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede que eu descreva o conjunto de pontos
no plano complexo que satisfazem a igualdade
Informações dadas e o que preciso usar imediatamente:
-
é um número complexo qualquer. - A condição é uma igualdade envolvendo a parte imaginária de
. - Preciso encontrar todos os pares
reais, com , que tornam verdadeira essa igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever
em coordenadas cartesianas no plano complexo: seja
onde
e
são números reais (as coordenadas do ponto no plano). Quero calcular
. Para isso uso a multiplicação de complexos: multiplico
por si mesmo e lembro que
. Fazendo as contas passo a passo:
Aqui separei claramente a parte real e a parte imaginária: a parte real é
e a parte imaginária (o coeficiente que multiplica
) é
.
Passo 3
A condição do enunciado diz que a parte imaginária de
vale
. Usando o cálculo do passo anterior, isso significa:
Agora resolvo essa equação para obter uma relação entre
e
. Dividindo ambos os lados por
obtemos:
Passo 4
A equação
, é uma equação em coordenadas cartesianas do plano
. Posso escrevê-la explicitamente como
Geometricamente, isso é a hipérbole retangular padrão (às vezes chamada de ramo da hipérbole), com dois ramos: um para
e outro para
. Note por que são dois ramos: para que
seja positivo,
e
têm o mesmo sinal — ambos positivos (ramo no primeiro quadrante) ou ambos negativos (ramo no terceiro quadrante).
Passo 5
Para visualizar melhor e saber como o conjunto é percorrido, uma parametrização simples é tomar o parâmetro
como a abscissa
. Então, para todo
,
ou seja,
Isso descreve todos os pontos do conjunto: variando
percorro o ramo no primeiro quadrante, variando
percorro o ramo no terceiro quadrante.
Passo 6
Uma outra forma de ver a condição é em coordenadas polares. Escrevendo
como
temos
e, portanto,
A condição
vira
Daí vemos duas coisas importantes: (i) é necessário que
, ou seja
(que correspondem aos quadrantes I e III); (ii) para cada
desses, a distância radial é
o que dá a mesma curva
quando traduzida para coordenadas cartesianas.
Passo 7
Observações geométricas úteis para a prova:
- A curva não intercepta os eixos coordenados, porque
ou não satisfazem . - As assíntotas são as retas
e (os eixos): ao levar temos , e ao levar temos . - A curva é simétrica em relação à origem: se
satisfaz a equação então também satisfaz (porque ) — isso confirma os ramos nos quadrantes I e III.