Descreva o conjunto de pontos z no plano complexo que satisfazem as seguintes equações:
\operatorname{Im}\left(z^{2}\right)=2

Passo 1

O enunciado pede que eu descreva o conjunto de pontos z no plano complexo que satisfazem a igualdade
\operatorname{Im}\!\left(z^{2}\right)=2.
Informações dadas e o que preciso usar imediatamente:
  • z é um número complexo qualquer.
  • A condição é uma igualdade envolvendo a parte imaginária de z^{2}.
  • Preciso encontrar todos os pares (x,y) reais, com z=x+iy, que tornam verdadeira essa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever z em coordenadas cartesianas no plano complexo: seja
z = x + i y,
onde x e y são números reais (as coordenadas do ponto no plano). Quero calcular z^{2}. Para isso uso a multiplicação de complexos: multiplico (x+iy) por si mesmo e lembro que i^{2}=-1. Fazendo as contas passo a passo:
z^{2} = (x+iy)^{2} = x^{2} + 2i x y + i^{2} y^{2} = x^{2} - y^{2} + i(2xy).
Aqui separei claramente a parte real e a parte imaginária: a parte real é x^{2}-y^{2} e a parte imaginária (o coeficiente que multiplica i) é 2xy.

Passo 3

A condição do enunciado diz que a parte imaginária de z^{2} vale 2. Usando o cálculo do passo anterior, isso significa:
2xy = 2.
Agora resolvo essa equação para obter uma relação entre x e y. Dividindo ambos os lados por 2 obtemos:
xy = 1.

Passo 4

A equação \,xy=1, é uma equação em coordenadas cartesianas do plano (x,y). Posso escrevê-la explicitamente como
y = \frac{1}{x},\quad x\neq 0.
Geometricamente, isso é a hipérbole retangular padrão (às vezes chamada de ramo da hipérbole), com dois ramos: um para x>0 e outro para x<0. Note por que são dois ramos: para que xy=1 seja positivo, x e y têm o mesmo sinal — ambos positivos (ramo no primeiro quadrante) ou ambos negativos (ramo no terceiro quadrante).

Passo 5

Para visualizar melhor e saber como o conjunto é percorrido, uma parametrização simples é tomar o parâmetro t como a abscissa x. Então, para todo t\in\mathbb{R}\setminus\{0\},
x=t,\qquad y=\frac{1}{t},
ou seja,
z(t)=t + i\frac{1}{t},\qquad t\neq 0.
Isso descreve todos os pontos do conjunto: variando t>0 percorro o ramo no primeiro quadrante, variando t<0 percorro o ramo no terceiro quadrante.

Passo 6

Uma outra forma de ver a condição é em coordenadas polares. Escrevendo z como
z = r e^{i\theta},
temos
z^{2} = r^{2} e^{i2\theta},
e, portanto,
\operatorname{Im}\!\left(z^{2}\right) = r^{2}\sin(2\theta).
A condição \operatorname{Im}\!\left(z^{2}\right)=2 vira
r^{2}\sin(2\theta)=2 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}=\frac{2}{\sin(2\theta)}.
Daí vemos duas coisas importantes: (i) é necessário que \sin(2\theta)>0, ou seja \theta\in(0,\tfrac{\pi}{2})\cup(\pi,\tfrac{3\pi}{2}) (que correspondem aos quadrantes I e III); (ii) para cada \theta desses, a distância radial é
r=\sqrt{\frac{2}{\sin(2\theta)}},
o que dá a mesma curva y=1/x quando traduzida para coordenadas cartesianas.

Passo 7

Observações geométricas úteis para a prova:
  • A curva não intercepta os eixos coordenados, porque x=0 ou y=0 não satisfazem xy=1.
  • As assíntotas são as retas x=0 e y=0 (os eixos): ao levar |x|\to\infty temos y\to 0, e ao levar x\to 0 temos |y|\to\infty.
  • A curva é simétrica em relação à origem: se x+iy satisfaz a equação então -x - i y também satisfaz (porque (-x)(-y)=xy) — isso confirma os ramos nos quadrantes I e III.

Resposta

\{\,z=x+iy\in\mathbb{C}\mid xy=1\,\}
\{\,z=t + i\frac{1}{t}\mid t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\,\}

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