(3,0) Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente:
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente, e, se for convergente, calcular o seu valor.
é convergente ou divergente, e, se for convergente, calcular o seu valor.
Informações dadas e observações iniciais:
- A função integranda é
.
- O intervalo de integração é
.
- Há potencial impropriedade porque o limite superior é infinito.
- Em
a função está bem definida (
), logo não há singularidade no extremo inferior.
Passo 2
Entendendo o que significa “integral imprópria” aqui: quando o intervalo de integração é infinito (como
) definimos a integral como um limite da integral definida em um intervalo finito que cresce até o infinito. Ou seja, por definição:
Portanto o procedimento é calcular a primitiva da função, avaliar a integral no intervalo
e depois tomar o limite quando
.
Passo 3
Vamos achar a primitiva de
. Uma maneira direta é usar a regra da potência para integrais: se
com
, então
Aqui podemos fazer a substituição simples
, então
e a integral torna-se
. Aplicando a regra com
obtemos
Voltando à variável
, a primitiva é
Cheque rápido da derivada:
, correto.
Passo 4
Agora calculamos a integral definida de
até
usando
:
Simplificando, como
, temos
Passo 5
Tomamos o limite quando
. Note que
tende a
quando
. Portanto
Como o limite existe e é finito, a integral imprópria converge e seu valor é
.
Passo 6
Intuição extra (útil para prova): para
grande,
comporta-se como
. Há um fato padrão: a integral
converge se, e somente se,
. Aqui temos
, então faz sentido (pela comparação) que a nossa integral também seja convergente.
Resposta
Convergente;