(3,0) Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente:
\int_{0}^{\infty}(x+4)^{-3} d x

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a integral imprópria
\displaystyle \int_{0}^{\infty}(x+4)^{-3}\,dx
é convergente ou divergente, e, se for convergente, calcular o seu valor.
Informações dadas e observações iniciais:
\displaystyle - A função integranda é f(x)=(x+4)^{-3}.
\displaystyle - O intervalo de integração é [0,\infty).
\displaystyle - Há potencial impropriedade porque o limite superior é infinito.
\displaystyle - Em x=0 a função está bem definida ( 0+4=4\neq0), logo não há singularidade no extremo inferior.

Passo 2

Entendendo o que significa “integral imprópria” aqui: quando o intervalo de integração é infinito (como [0,\infty)) definimos a integral como um limite da integral definida em um intervalo finito que cresce até o infinito. Ou seja, por definição:
\int_{0}^{\infty}(x+4)^{-3}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b}(x+4)^{-3}\,dx.
Portanto o procedimento é calcular a primitiva da função, avaliar a integral no intervalo [0,b] e depois tomar o limite quando b\to\infty.

Passo 3

Vamos achar a primitiva de f(x)=(x+4)^{-3}. Uma maneira direta é usar a regra da potência para integrais: se \displaystyle \int u^{p}\,du com p\neq-1, então
\int u^{p}\,du=\frac{u^{p+1}}{p+1}+C.
Aqui podemos fazer a substituição simples u=x+4, então du=dx e a integral torna-se \int u^{-3}\,du. Aplicando a regra com p=-3 obtemos
\int u^{-3}\,du=\frac{u^{-2}}{-2}+C=-\frac{1}{2}u^{-2}+C.
Voltando à variável x, a primitiva é
F(x)=-\frac{1}{2}(x+4)^{-2}+C.
Cheque rápido da derivada: F'(x) = -\frac{1}{2}\cdot(-2)(x+4)^{-3}=(x+4)^{-3}, correto.

Passo 4

Agora calculamos a integral definida de 0 até b usando F:
\int_{0}^{b}(x+4)^{-3}\,dx = F(b)-F(0) = \left(-\frac{1}{2}(b+4)^{-2}\right)-\left(-\frac{1}{2}(0+4)^{-2}\right).
Simplificando, como (0+4)^{-2}=4^{-2}=\dfrac{1}{16}, temos
\int_{0}^{b}(x+4)^{-3}\,dx = -\frac{1}{2}(b+4)^{-2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{16} = -\frac{1}{2}(b+4)^{-2} + \frac{1}{32}.

Passo 5

Tomamos o limite quando b\to\infty. Note que (b+4)^{-2}=\dfrac{1}{(b+4)^{2}} tende a 0 quando b\to\infty. Portanto
\lim_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{2}(b+4)^{-2} + \frac{1}{32}\right) = 0 + \frac{1}{32} = \frac{1}{32}.
Como o limite existe e é finito, a integral imprópria converge e seu valor é \dfrac{1}{32}.

Passo 6

Intuição extra (útil para prova): para x grande, (x+4)^{-3} comporta-se como x^{-3}. Há um fato padrão: a integral
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx
converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=3>1, então faz sentido (pela comparação) que a nossa integral também seja convergente.

Resposta

Convergente; \displaystyle \frac{1}{32}

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