(3,0) Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente:
\int_{0}^{1} \frac{5 x^{2}}{\left(x^{3}-1\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{0}^{1} \frac{5 x^{2}}{\left(x^{3}-1\right)^{2}}\,dx
é convergente ou divergente. Informações relevantes do enunciado:
  • O integrando é \displaystyle f(x)=\frac{5x^{2}}{(x^{3}-1)^{2}}.
  • O intervalo de integração é [0,1]. Dentro desse intervalo o denominador (x^{3}-1)^{2} anula-se em x=1, portanto há uma singularidade em x=1 e a integral é imprópria por causa do extremo direito.
  • Em x=0 temos \displaystyle f(0)=\frac{5\cdot 0^{2}}{(0^{3}-1)^{2}}=0, portanto não há problema em x=0.
  • O integrando é não-negativo para 0\le x<1 (numerador \ge 0, denominador >0 para x\neq1), então, se divergir, diverge para +\infty.

Passo 2

Definição e estratégia: a integral imprópria existe se o limite
\lim_{b\to 1^-}\int_{0}^{b}\frac{5x^{2}}{(x^{3}-1)^{2}}\,dx
é finito. Como a única singularidade é em x=1, vamos estudar o comportamento de f(x) quando x\to 1^-. A técnica mais prática aqui é comparar f(x) com uma função simples cujo comportamento em x\to1^- é conhecido (teste de comparação ou comparação por limite). Se encontrarmos uma função do tipo (1-x)^{-p} com p conhecido, podemos usar o resultado padrão para integrais do tipo \int (1-x)^{-p}\,dx.

Passo 3

Fatoramos x^{3}-1 para ver a dependência em 1-x:
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)=-(1-x)(x^{2}+x+1).
Como estamos elevando ao quadrado,
(x^{3}-1)^{2}=(1-x)^{2}(x^{2}+x+1)^{2}.
Substituindo na expressão de f(x) obtemos
\frac{5x^{2}}{(x^{3}-1)^{2}}=\frac{5x^{2}}{(1-x)^{2}(x^{2}+x+1)^{2}}.
Assim podemos escrever
\frac{5x^{2}}{(x^{3}-1)^{2}}=\underbrace{\frac{5x^{2}}{(x^{2}+x+1)^{2}}}_{\displaystyle g(x)}\cdot\frac{1}{(1-x)^{2}}.

Passo 4

Analisamos o fator g(x)=\dfrac{5x^{2}}{(x^{2}+x+1)^{2}} quando x\to 1^-. Calculamos o limite
\lim_{x\to 1^-} g(x)=\lim_{x\to 1^-}\frac{5x^{2}}{(x^{2}+x+1)^{2}}=\frac{5\cdot 1^{2}}{(1^{2}+1+1)^{2}}=\frac{5}{9}.
Portanto, quando x\to 1^- temos
\frac{5x^{2}}{(x^{3}-1)^{2}}\sim \frac{5}{9}\cdot\frac{1}{(1-x)^{2}},
ou seja, o integrando é equivalente (multiplicado por constante positiva) a (1-x)^{-2} perto de x=1.

Passo 5

Aplicamos o teste de comparação por limite: se f(x) e h(x) são não-negativas e
\lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)}{h(x)}=L
com 0<L<\infty, então \int\limits_{0}^{1}f(x)\,dx e \int\limits_{0}^{1}h(x)\,dx têm o mesmo comportamento de convergência (ou seja, ambas convergem ou ambas divergem). Tomamos h(x)=\dfrac{1}{(1-x)^{2}}. Como o limite acima deu L=\dfrac{5}{9}>0, basta estudar \int_{0}^{1}\dfrac{1}{(1-x)^{2}}\,dx.
Calculamos a integral-padrão (antiderivada) para h:
\int \frac{1}{(1-x)^{2}}\,dx = \frac{1}{1-x} + C,
pois com u=1-x obtemos \int u^{-2}(-du)=-u^{-1}=u^{-1}. Portanto
\int_{0}^{b}\frac{1}{(1-x)^{2}}\,dx=\left[\frac{1}{1-x}\right]_{0}^{b}=\frac{1}{1-b}-1.
Ao fazer b\to 1^- temos \dfrac{1}{1-b}\to +\infty, logo
\int_{0}^{1}\frac{1}{(1-x)^{2}}\,dx=+\infty,
ou seja, a integral diverge.

Passo 6

Pelo teste de comparação por limite (Passo 5) e porque o limite L=\dfrac{5}{9} é positivo e finito, concluímos que a integral original tem o mesmo comportamento que \int_{0}^{1}\dfrac{1}{(1-x)^{2}}\,dx, portanto também diverge. Como o integrando é não-negativo, a divergência é para +\infty.

Resposta

Divergente

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