Usando coordenadas polares, escreva na forma de uma integral iterada a integral
integral duplaR f(x, y) d x d y
onde R é a região delimitada por x^2+y^2-2 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever
integral duplaRf(x,y),dx,dy
onde R é a região dada por
x^2+y^2-2y=0,
usando coordenadas polares l(x=rcostheta,;y=rsinthetar). Vamos precisar (i) descrever a curva em polares, (ii) determinar as restrições de r e theta, e (iii) incluir o fator Jacobiano r.

Passo 2

Substituindo x=rcostheta e y=rsintheta na equação da fronteira,
x^2+y^2-2y=0 Longrightarrow r^2-2rsintheta=0 Longrightarrow r,(r-2sintheta)=0
A fronteira não-trivial é
r=2sintheta,
então, no interior de R, temos
0<= r<= 2sintheta

Passo 3

Para que r>=0 e 2sintheta>=0 simultaneamente, é preciso sintheta>=0, ou seja
0<=theta<=pi

Passo 4

Em coordenadas polares, dx,dy vira r,dr,dtheta e f(x,y) vira f(rcostheta,rsintheta). Logo, a integral iterada fica
integraltheta=0^pi integralr=0^2sintheta fl(rcostheta,rsinthetar);r;dr;dtheta

Resposta

integral duplaRf(x,y),dx,dy = integral0^pi integral0^2sintheta fl(rcostheta,rsinthetar);r;dr;dtheta

Exercícios relacionados