Descreva a curva de nível f(z)=z+1z da função

Passo 1

O enunciado pede para identificar a curva de nível v(x,y)=0 da parte imaginária da função complexa f(z)=z+1z. Vamos usar que z=x+iy e separar f(z) em parte real u(x,y) e imaginária v(x,y).

Passo 2

Substituímos z=x+iy em f(z): Começamos escrevendo
f(z)=x+iy+1x+iy

Passo 3

Para simplificar 1x+iy, multiplicamos numerador e denominador por x-iy:
1x+iy=x-iyx^2+y^2=xx^2+y^2-iyx^2+y^2

Passo 4

Logo,
f(z)=l(x+xx^2+y^2r)+il(y-yx^2+y^2r)

Passo 5

Daí identificamos
v(x,y)=y-yx^2+y^2=yl(1-1x^2+y^2r)

Passo 6

Para achar a curva de nível v(x,y)=0, basta resolver
yl(1-1x^2+y^2r)=0

Passo 7

Isso ocorre quando
  1. y=0 ou 2) 1-1x^2+y^2=0, isto é, x^2+y^2=1.
    Não podemos ter z=0 porque f(z) não está definida ali.

Passo 8

Portanto, a curva de nível v(x,y)=0 é a união do eixo real (exceto a origem) com o círculo de raio 1 centrado na origem.

Resposta

A curva de nível é dada por y=0 (eixo real, excluindo z=0) junto com o círculo x^2+y^2=1.

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