Descreva as curvas de nível de .

Passo 1

O enunciado pede para descrever as curvas de nível de f(z)=1/z. Como f é valor em C, vamos tratá-la como função de duas variáveis reais: z=x+iy e escrever f(z)=phi(x,y)+ipsi(x,y). Precisaremos usar definição de parte real e imaginária e manipular equações de nível.

Passo 2

Escrevemos z=x+iy. Então
f(z)=1z=1x+iy=x-iyx^2+y^2 = phi(x,y) + ipsi(x,y)

Passo 3

Da fórmula acima extraímos as componentes reais:
phi(x,y)=xx^2+y^2, psi(x,y)=-yx^2+y^2

Passo 4

Para as curvas de nível de phi, impomos phi(x,y)=C (constante):
xx^2+y^2=C implies x = C,(x^2+y^2) implies Cx^2 - x + C y^2 =0

Passo 5

Completando o quadrado em x:
Cl(x^2 - xCr) + C y^2 =0 implies Cl(x-tfrac12Cr)^2 + C y^2 = 14C

Passo 6

Logo, para cada Cneq0 a curva é um círculo de centro (1/(2C),0) e raio 1/(2|C|).

Passo 7

Agora as curvas de nível de psi: impomos psi(x,y)=K (constante):
-yx^2+y^2=K implies K(x^2+y^2)+y=0 implies Kx^2 + K y^2 + y=0

Passo 8

Completando o quadrado em y:
Kl(x^2 + (y+tfrac12K)^2r) = 14K implies (y+tfrac12K)^2 + x^2 = 14K^2

Passo 9

Assim, para cada Kneq0 a curva é um círculo de centro (0,-1/(2K)) e raio 1/(2|K|)).

Resposta

As curvas de nível de phi(x,y)=Re(1/z)=x/(x^2+y^2)=C são círculos de centro (1/(2C),0) e raio 1/(2|C|). As curvas de nível de psi(x,y)=Im(1/z)=-y/(x^2+y^2)=K são círculos de centro (0,-1/(2K)) e raio 1/(2|K|), para C e K não nulos.

Exercícios relacionados