Usando o teorema da Divergência, calcular o fluxo de F através de S
F(x, y, z)=(x^2+cos y z) i+(y-z e^- x) j+z^2 k
S é a superfície da região delimitada pelo cilindro x^2+y^2=4 e pelos planos x+z=2 e z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície usando o Teorema da Divergência. A gente vai precisar entender o que é fluxo, o Teorema da Divergência e como aplicar isso em coordenadas cilíndricas para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial F(x, y, z) = (x^2 + cos(y) z) i + (y - z e^-x) j + z^2 k que nos foi dado:
E a superfície é delimitada pelo cilindro e pelos planos e .

Passo 3

O Teorema da Divergência nos diz que o fluxo de Fluxo = integral triplaV (nabla cdot F) , dV através da superfície fechada é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume delimitado por :
Então, nosso primeiro passo é calcular a divergência de .

Passo 4

Vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partialpartial x(x^2 + cos(y) z) + partialpartial y(y - z e^-x) + partialpartial z(z^2) :
partialpartial x(x^2 + cos(y) z) = 2x
Calculando cada termo:
partialpartial y(y - z e^-x) = 1
partialpartial z(z^2) = 2z
nabla cdot F = 2x + 1 + 2z
Então:

Passo 5

Agora, vamos descrever o volume x = r cos(theta), y = r sin(theta), z = z . Como estamos lidando com um cilindro , é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas:
O volume está limitado por:
  • O cilindro
  • O plano
  • O plano que, em coordenadas cilíndricas, fica

Passo 6

Vamos montar a integral tripla para calcular o fluxo:
Fluxo = integral0^2pi integral0^2 integral0^2 - r cos(theta) (2r cos(theta) + 1 + 2z) cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, é o fator de escala para a integral em coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos integrar em relação a integral0^2 - r cos(theta) (2r cos(theta) + 1 + 2z) cdot r , dz = r [ (2r cos(theta) + 1)z + z^2 ]0^2 - r cos(theta) primeiro:
= r [ (2r cos(theta) + 1)(2 - r cos(theta)) + (2 - r cos(theta))^2 ]
Substituindo os limites:
= 6r - r^2 cos(theta) - r^3 cos^2(theta)
Simplificando:

Passo 8

Agora, integrando em relação a integral0^2 (6r - r^2 cos(theta) - r^3 cos^2(theta)) dr = 12 - 83 cos(theta) - 4 cos^2(theta) :

Passo 9

Por fim, integramos em relação a Fluxo = integral0^2pi (12 - 83 cos(theta) - 4 cos^2(theta)) dtheta :
integral0^2pi cos(theta) dtheta = 0 e integral0^2pi cos^2(theta) dtheta = pi
Sabemos que:
Fluxo = 24pi - 4pi = 20pi
Então:

Resposta

O fluxo de através de é .

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