Usando o teorema da Divergência, calcular o fluxo de F através de S
S é a superfície da região delimitada pelo cilindro
e pelos planos
e
.
S é a superfície da região delimitada pelo cilindro
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
usando o Teorema da Divergência. A gente vai precisar entender o que é fluxo, o Teorema da Divergência e como aplicar isso em coordenadas cilíndricas para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial
que nos foi dado:
E a superfície
é delimitada pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Passo 3
O Teorema da Divergência nos diz que o fluxo de
através da superfície fechada
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
delimitado por
:
Então, nosso primeiro passo é calcular a divergência de
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 5
Agora, vamos descrever o volume
. Como estamos lidando com um cilindro
, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas:
O volume está limitado por:
- O cilindro
- O plano
- O plano
que, em coordenadas cilíndricas, fica
Passo 6
Vamos montar a integral tripla para calcular o fluxo:
Aqui,
é o fator de escala para a integral em coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 8
Agora, integrando em relação a
:
Passo 9
Por fim, integramos em relação a
:
Sabemos que:
Então:
Resposta
O fluxo de
através de
é
.