Descreva as curvas de nível da cada função:
(19.1) f(x, y)=e^-4 x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para descrever as curvas de nível da função $ f(x, y) = e{-4x{2} - y^{2}} $. As curvas de nível são linhas no plano $ xy $ onde a função mantém um valor constante. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de curvas e como manipular funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que são curvas de nível. Imagine que você tem uma montanha: as curvas de nível seriam como as linhas de mesma altitude no mapa. Da mesma forma, para a função $ f(x, y) $, cada curva de nível corresponde a um valor constante da função. Então, vamos começar definindo essa constante como $ k $.

Passo 3

Definimos a curva de nível por:
f(x, y) = k
Substituindo a função dada:
e^-4x^2 - y^2 = k

Passo 4

Para simplificar essa equação, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados:
-4x^2 - y^2 = ln(k)
Agora, multiplicamos ambos os lados por -1 para facilitar:
4x^2 + y^2 = -ln(k)

Passo 5

Observe que $ -\ln(k) $ deve ser positivo para que a equação represente curvas reais. Isso significa que $ k $ deve estar entre 0 e 1, já que o logaritmo natural de números menores que 1 é negativo.

Passo 6

A equação $ 4x^{2} + y^{2} = -\ln(k) $ representa uma elipse. A forma geral da elipse é:
4x^2 + y^2 = -ln(k)
Comparando com nossa equação, temos:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Isso mostra que as curvas de nível são elipses com semi-eixos $ a = \sqrt{\frac{-\ln(k)}{4}} $ e $ b = \sqrt{-\ln(k)} $.

Passo 7

Portanto, cada valor de $ k $ entre 0 e 1 gera uma elipse específica. À medida que $ k $ aumenta (mas ainda menor que 1), $ -\ln(k) $ diminui, fazendo com que as elipses fiquem menores. Quando $ k $ se aproxima de 0, $ -\ln(k) $ cresce, e as elipses se expandem.

Resposta

As curvas de nível da função $ f(x, y) = e{-4x{2} - y^{2}} $ são elipses centradas na origem, descritas pela equação $ 4x^{2} + y^{2} = -\ln(k) $, onde $ k $ é uma constante entre 0 e 1.

Exercícios relacionados