Descreva as curvas de nível da cada função:
(19.1)
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(19.1)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para descrever as curvas de nível da função $ f(x, y) = e{-4x{2} - y^{2}} $. As curvas de nível são linhas no plano $ xy $ onde a função mantém um valor constante. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações de curvas e como manipular funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que são curvas de nível. Imagine que você tem uma montanha: as curvas de nível seriam como as linhas de mesma altitude no mapa. Da mesma forma, para a função $ f(x, y) $, cada curva de nível corresponde a um valor constante da função. Então, vamos começar definindo essa constante como $ k $.
Passo 3
Definimos a curva de nível por:
Substituindo a função dada:
Passo 4
Para simplificar essa equação, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, multiplicamos ambos os lados por -1 para facilitar:
Passo 5
Observe que $ -\ln(k) $ deve ser positivo para que a equação represente curvas reais. Isso significa que $ k $ deve estar entre 0 e 1, já que o logaritmo natural de números menores que 1 é negativo.
Passo 6
A equação $ 4x^{2} + y^{2} = -\ln(k) $ representa uma elipse. A forma geral da elipse é:
Comparando com nossa equação, temos:
Isso mostra que as curvas de nível são elipses com semi-eixos $ a = \sqrt{\frac{-\ln(k)}{4}} $ e $ b = \sqrt{-\ln(k)} $.
Passo 7
Portanto, cada valor de $ k $ entre 0 e 1 gera uma elipse específica. À medida que $ k $ aumenta (mas ainda menor que 1), $ -\ln(k) $ diminui, fazendo com que as elipses fiquem menores. Quando $ k $ se aproxima de 0, $ -\ln(k) $ cresce, e as elipses se expandem.
Resposta
As curvas de nível da função $ f(x, y) = e{-4x{2} - y^{2}} $ são elipses centradas na origem, descritas pela equação $ 4x^{2} + y^{2} = -\ln(k) $, onde $ k $ é uma constante entre 0 e 1.