Mostre que lim P P0 f(x, y) não existe se:
(20.3) f(x, y)=y^3-(x-2)^42(x-2)^3+y^3 e P0(2,0).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que o limite de $ f(x, y) = \frac{y^{3} - (x-2){4}}{2(x-2){3} + y^{3}} $ quando o ponto $ P = (x, y) $ se aproxima de $ P_{0} = (2, 0) $ não existe. Para resolver isso, vamos precisar entender limites em funções de duas variáveis e verificar se o limite é o mesmo ao se aproximar de diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender o que significa que o limite não existe. Em funções de duas variáveis, o limite existe se, independente do caminho que você escolha para se aproximar do ponto $ P_{0} $, você sempre obtém o mesmo valor. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que levam a limites diferentes, então o limite geral não existe.

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de $ P_{0} = (2, 0) $. O primeiro caminho será ao longo da linha $ y = 0 $. Substituindo $ y = 0 $ na função:
P0 = (2, 0)
Agora, vamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 2:
y = 0
Então, ao longo do caminho $ y = 0 $, o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos escolher outro caminho diferente. Vamos nos aproximar de $ P_{0} $ ao longo da curva $ y = \sqrt[3]{-2(x-2)^{3}} $. Substituindo $ y = \sqrt[3]{-2(x-2)^{3}} $ na função:
Primeiro, calculamos $ y^{3} $:
P0
Agora substituímos na função:
y = raiz[3]-2(x-2)^3
Aqui, o denominador se torna 0, o que geralmente indica que o limite pode tender ao infinito ou não existir.

Passo 5

Para entender melhor, vamos simplificar a expressão:
f(x, y) = -2(x-2)^3 - (x-2)^40
À medida que $ x $ se aproxima de 2, o numerador tende a 0, mas a presença do denominador igual a 0 sugere que o limite pode ser indeterminado ou infinito. Isso implica que, ao longo desse caminho específico, o limite não é igual a 0, diferindo do primeiro caminho que escolhemos.

Resposta

Como encontramos dois caminhos diferentes que levam a limites distintos (0 e indefinido), concluímos que $ \lim {P \rightarrow P{0}} f(x, y) $ não existe.

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