Mostre que
não existe se:
(20.3)
e
.
(20.3)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que o limite de $ f(x, y) = \frac{y^{3} - (x-2){4}}{2(x-2){3} + y^{3}} $ quando o ponto $ P = (x, y) $ se aproxima de $ P_{0} = (2, 0) $ não existe. Para resolver isso, vamos precisar entender limites em funções de duas variáveis e verificar se o limite é o mesmo ao se aproximar de diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar entender o que significa que o limite não existe. Em funções de duas variáveis, o limite existe se, independente do caminho que você escolha para se aproximar do ponto $ P_{0} $, você sempre obtém o mesmo valor. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que levam a limites diferentes, então o limite geral não existe.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de $ P_{0} = (2, 0) $. O primeiro caminho será ao longo da linha $ y = 0 $. Substituindo $ y = 0 $ na função:
Agora, vamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 2:
Então, ao longo do caminho $ y = 0 $, o limite é 0.
Passo 4
Agora, vamos escolher outro caminho diferente. Vamos nos aproximar de $ P_{0} $ ao longo da curva $ y = \sqrt[3]{-2(x-2)^{3}} $. Substituindo $ y = \sqrt[3]{-2(x-2)^{3}} $ na função:
Primeiro, calculamos $ y^{3} $:
Agora substituímos na função:
Aqui, o denominador se torna 0, o que geralmente indica que o limite pode tender ao infinito ou não existir.
Passo 5
Para entender melhor, vamos simplificar a expressão:
À medida que $ x $ se aproxima de 2, o numerador tende a 0, mas a presença do denominador igual a 0 sugere que o limite pode ser indeterminado ou infinito. Isso implica que, ao longo desse caminho específico, o limite não é igual a 0, diferindo do primeiro caminho que escolhemos.
Resposta
Como encontramos dois caminhos diferentes que levam a limites distintos (0 e indefinido), concluímos que $ \lim {P \rightarrow P{0}} f(x, y) $ não existe.