Suponha que C(x) seja o custo total de produção de x unidades de um produto, e C(x)=12 x^2-2 x+5.
Ache o custo unitário médio mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a função de custo total de produção, que é . O que a gente quer encontrar é o custo unitário médio mínimo. Isso significa descobrir qual é o menor custo por unidade produzida. Para isso, vamos precisar entender de funções quadráticas e cálculo básico, como derivadas para achar mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é o custo unitário médio. Ele é calculado dividindo o custo total U(x) = C(x)x = 12x^2 - 2x + 5x pelo número de unidades produzidas . Então, a função do custo unitário médio fica assim:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão do custo unitário médio:
U(x) = 12x - 2 + 5x
Agora, nossa função para minimizar é .

Passo 4

Para encontrar o mínimo dessa função, vamos usar derivadas. A ideia é achar onde a derivada de U'(x) = ddx(12x) - ddx(2) + ddx(5x) é igual a zero, o que indica um ponto de mínimo ou máximo.
Calculando a derivada de U'(x) = 12 - 0 - 5x^2 :
U'(x) = 12 - 5x^2

Passo 5

Agora, vamos igualar a derivada a zero e resolver para 12 - 5x^2 = 0 :
12 = 5x^2
x^2 = 512
x^2 = 10
x = raiz10

Passo 6

Para confirmar que esse ponto é realmente um mínimo, podemos verificar a segunda derivada ou observar que a função é côncava para cima. Mas vamos seguir em frente com o valor encontrado.

Passo 7

Agora, substituímos U(raiz10) = 12raiz10 - 2 + 5raiz10 na função do custo unitário médio para encontrar o valor mínimo:
U(raiz10) = raiz102 - 2 + 5raiz10
Simplificando:
U(raiz10) = raiz102 + 5raiz10 - 2
U(raiz10) = raiz102 + 5raiz1010 - 2
Convertendo para um denominador comum:
U(raiz10) = raiz102 + raiz102 - 2
U(raiz10) = raiz10 - 2
raiz10 approx 3,162
Aproximando:
U(raiz10) approx 3,162 - 2
U(raiz10) approx 1,162

Resposta

O custo unitário médio mínimo é aproximadamente R$ 1,16 por unidade.

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