Suponha que
seja o custo total de produção de
unidades de um produto, e
.
Ache o custo unitário médio mínimo.
Ache o custo unitário médio mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá a função de custo total de produção, que é
. O que a gente quer encontrar é o custo unitário médio mínimo. Isso significa descobrir qual é o menor custo por unidade produzida. Para isso, vamos precisar entender de funções quadráticas e cálculo básico, como derivadas para achar mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é o custo unitário médio. Ele é calculado dividindo o custo total
pelo número de unidades produzidas
. Então, a função do custo unitário médio
fica assim:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão do custo unitário médio:
Agora, nossa função para minimizar é
.
Passo 4
Para encontrar o mínimo dessa função, vamos usar derivadas. A ideia é achar onde a derivada de
é igual a zero, o que indica um ponto de mínimo ou máximo.
Calculando a derivada de
:
Passo 5
Agora, vamos igualar a derivada a zero e resolver para
:
Passo 6
Para confirmar que esse ponto é realmente um mínimo, podemos verificar a segunda derivada ou observar que a função é côncava para cima. Mas vamos seguir em frente com o valor encontrado.
Passo 7
Agora, substituímos
na função do custo unitário médio para encontrar o valor mínimo:
Simplificando:
Convertendo para um denominador comum:
Aproximando:
Resposta
O custo unitário médio mínimo é aproximadamente R$ 1,16 por unidade.