Descreva as curvas (ou superfícies) de nível das seguintes funções
f(x, y)=y sec x

Passo 1

O enunciado pede para descrever as curvas de nível da função f(x,y)=y sec x. O conteúdo envolve curvas de nível de funções de duas variáveis, ou seja, o conjunto de pontos (x,y) onde f(x,y)=c para cada constante c. Vamos usar a definição de curva de nível e isolar y para ver qual é o formato dessas curvas.

Passo 2

Uma curva de nível de uma função f(x,y) é o conjunto de pontos que satisfazem f(x,y)=c, com c fixo. Aqui temos f(x,y)=y sec x, então impomos
ysec x=c

Passo 3

A partir de y sec x=c, basta isolar y. Como sec x=1/\cos x, temos
y=ccos x

Passo 4

Precisamos lembrar do domínio: sec x só existe quando \cos x\neq0, ou seja, x\neq\tfrac{\pi}{2}+n\pi, n\in\mathbb{Z}. Logo cada curva y=c\cos x está bem definida exatamente nesses intervalos.

Passo 5

Geometricamente, para cada valor c fixo obtemos uma curva periódica de amplitude c e período 2\pi: se c>0 ela oscila acima e abaixo do eixo y com pico c, se c<0 ela oscila invertida, e para c=0 reduz-se à reta y=0.

Resposta

As curvas de nível de f são as famílias de gráficos
y = c\cos x,
para cada constante c∈ℝ, definidas para x≠π/2+nπ.

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