Usando o que você estudou em séries infinitas e justificando sua resposta, escreva número r=0,252525 ldots como uma fração de inteiros.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para transformar o número em uma fração de inteiros. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, que envolvem somar termos que continuam indefinidamente. Precisamos entender como representar esse número decimal repetitivo como uma soma infinita e então encontrar a fração correspondente.

Passo 2

Primeiro, observe que o número r = 0,25 + 0,0025 + 0,000025 + ldots é uma dízima periódica, onde o bloco “25” se repete infinitamente. Podemos escrever isso como:
Essa expressão é uma série geométrica, que é uma série infinita onde cada termo é um múltiplo constante do termo anterior.

Passo 3

Na série geométrica, a soma é dada por:
S = a1 + a2 + a3 + ldots = a11 - q
Onde é o primeiro termo e é a razão entre os termos. Vamos identificar e no nosso caso.

Passo 4

No nosso caso, o primeiro termo e a razão , já que cada termo é 1/100 do anterior. Isso porque “25” está se movendo duas casas decimais para a direita a cada novo termo.

Passo 5

Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
r = 0,251 - 0,01 = 0,250,99

Passo 6

Agora, vamos simplificar a fração r = 2599 . Multiplicando numerador e denominador por 100 para eliminar as vírgulas, temos:

Resposta

r = 2599

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