Justificando sua resposta, determine o centro e o intervalo de convergência da série de potência.
sumk=1^infty (x+5)^k(2 k-1)(2 k)

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício que temos aqui pede para encontrar o centro e o intervalo de convergência de uma série de potência. A série que estamos analisando é:
sumk=1^infty (x+5)^k(2 k-1)(2 k)
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries de potência e como determinar onde elas convergem. Vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para encontrar o raio e o intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da nossa série de potência:
sumk=1^infty ak (x - c)^k
Aqui, sumk=1^infty (x+5)^k(2 k-1)(2 k) é o centro da série. Comparando com a nossa série:
Vemos que . Então, o centro da série é .

Passo 3

Agora, para encontrar o intervalo de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para a série L = limk to infty | ak+1ak | , o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão à nossa série:
ak = (x+5)^k(2 k-1)(2 k)
Vamos calcular ak+1ak = (x+5)^k+1(2 (k+1)-1)(2 (k+1)) cdot (2 k-1)(2 k)(x+5)^k = (x+5) cdot (2k-1)(2k)(2k+1)(2k+2) :

Passo 5

Simplificando a expressão:
ak+1ak = (x+5) cdot (2k-1)(2k)(2k+1)(2k+2)
Agora, vamos calcular o limite quando L = limk to infty | (x+5) cdot (2k-1)(2k)(2k+1)(2k+2) | tende ao infinito:

Passo 6

Observando o comportamento quando (2k-1)(2k)(2k+1)(2k+2) approx 4k^24k^2 = 1 tende ao infinito, os termos de menor ordem se tornam insignificantes. Então, podemos simplificar:
L = |x + 5| cdot 1 = |x + 5|
Portanto, o limite fica:

Passo 7

De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que |x + 5| < 1 :
Isso nos dá a condição para a convergência da série.

Passo 8

Resolvendo a inequação -1 < x + 5 < 1 :
-6 < x < -4
Subtraindo 5 de todos os lados:

Passo 9

Então, o intervalo de convergência é , e o centro da série é .

Resposta

Centro:
Intervalo de Convergência:

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