Justificando sua resposta, determine o centro e o intervalo de convergência da série de potência.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício que temos aqui pede para encontrar o centro e o intervalo de convergência de uma série de potência. A série que estamos analisando é:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries de potência e como determinar onde elas convergem. Vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para encontrar o raio e o intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral da nossa série de potência:
Aqui, é o centro da série. Comparando com a nossa série:
Vemos que . Então, o centro da série é .
Passo 3
Agora, para encontrar o intervalo de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para a série , o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Agora, vamos calcular o limite quando L = limk to infty | (x+5) cdot (2k-1)(2k)(2k+1)(2k+2) | tende ao infinito:
Passo 6
Observando o comportamento quando (2k-1)(2k)(2k+1)(2k+2) approx 4k^24k^2 = 1 tende ao infinito, os termos de menor ordem se tornam insignificantes. Então, podemos simplificar:
L = |x + 5| cdot 1 = |x + 5|
Portanto, o limite fica:
Passo 7
De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que |x + 5| < 1 :
Isso nos dá a condição para a convergência da série.
Passo 8
Resolvendo a inequação -1 < x + 5 < 1 :
-6 < x < -4
Subtraindo 5 de todos os lados:
Passo 9
Então, o intervalo de convergência é , e o centro da série é .