Descreva as curvas (ou superfícies) de nível das seguintes funções
Passo 1
Temos a função de duas variáveis
. O que se pede é descrever as curvas de nível, ou seja, os conjuntos
para cada valor real
. Para isso vamos usar o conceito de curvas de nível e modelagem de cônicas a partir de uma equação geral de segundo grau.
Passo 2
Igualamos
. Isso dá
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que esse termo não pode ser zero), obtemos
Passo 3
Reconhecemos uma cônica geral da forma
com
Passo 4
Para classificar uma cônica, usamos o discriminante
. Aqui
Passo 5
Como
, para
a curva de nível é uma hipérbole. Quando
a equação fica apenas
ou seja, uma reta.
Passo 6
As hipérboles são cônicas centrais; vamos achar o centro. Para isso, calculamos as derivadas parciais da expressão quadrática
e igualamos a zero:
Passo 7
Logo, para
o centro é
.
Passo 8
Os ramos da hipérbole, longe do centro, aproximam-se das retas dadas pelo termo quadrático principal
Passo 9
que são as assíntotas de todas as hipérboles deste tipo. Para ver a forma canônica, faça a troca
,
. A equação vira
ou seja
Passo 10
Isso mostra que cada curva de nível
, com
, é uma hipérbole centrada em
, de assíntotas
e semi-eixo
Resposta
Para cada nível
, as curvas de nível são hipérboles definidas por
com centro em
, assíntotas
e forma canônica
. Para
, a curva de nível é a reta
.