Descreva as curvas (ou superfícies) de nível das seguintes funções
f(x, y)=(2 x+y) /(x^2-y^2)

Passo 1

Temos a função de duas variáveis f(x,y) = 2x+yx^2 - y^2. O que se pede é descrever as curvas de nível, ou seja, os conjuntos (x,y)mid f(x,y)=c para cada valor real c. Para isso vamos usar o conceito de curvas de nível e modelagem de cônicas a partir de uma equação geral de segundo grau.

Passo 2

Igualamos f(x,y)=c. Isso dá
2x + yx^2 - y^2 = c
Multiplicando ambos os lados por x^2 - y^2 (lembrando que esse termo não pode ser zero), obtemos
c,x^2 - c,y^2 - 2x - y = 0

Passo 3

Reconhecemos uma cônica geral da forma A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0 com
A = c, B = 0, C = -c, D = -2, E = -1, F = 0

Passo 4

Para classificar uma cônica, usamos o discriminante De. Aqui

Passo 5

Como De0, para cneq0 a curva de nível é uma hipérbole. Quando c=0 a equação fica apenas
-2x - y = 0 ; Longrightarrow; y = -2x,
ou seja, uma reta.

Passo 6

As hipérboles são cônicas centrais; vamos achar o centro. Para isso, calculamos as derivadas parciais da expressão quadrática
Q(x,y)=c x^2 - c y^2 -2x - y
e igualamos a zero:
partial Qpartial x = 2c x - 2 = 0 ;Rightarrow; x0 = 1c,
partial Qpartial y = -2c y -1 = 0 ;Rightarrow; y0 = -12c

Passo 7

Logo, para cneq0 o centro é l(tfrac1c, -tfrac12cr).

Passo 8

Os ramos da hipérbole, longe do centro, aproximam-se das retas dadas pelo termo quadrático principal
c(x^2 - y^2)=0; Longrightarrow; y = pm x,

Passo 9

que são as assíntotas de todas as hipérboles deste tipo. Para ver a forma canônica, faça a troca u = x - x0, v = y - y0. A equação vira
c,u^2 - c,v^2 = 34c,
ou seja
u^2 - v^2 = 34c^2

Passo 10

Isso mostra que cada curva de nível f(x,y)=c, com cneq0, é uma hipérbole centrada em l(1/c,-1/(2c)r), de assíntotas y+1/(2c)=pm(x-1/c) e semi-eixo a=b=tfracraiz32|c|

Resposta

Para cada nível cneq0, as curvas de nível são hipérboles definidas por
c,x^2 - c,y^2 - 2x - y = 0,
com centro em (1/c,-1/(2c)), assíntotas y+1/(2c)=pm(x-1/c) e forma canônica u^2-v^2=3/(4c^2). Para c=0, a curva de nível é a reta y=-2x.

Exercícios relacionados