Esboce o domínio das funções
g(x, y, z)=arcsin (x^2-y^2+z^2-2)

Passo 1

A questão pede o domínio da função g(x,y,z)=arcsin(x^2 - y^2 + z^2 -2). O conteúdo é domínio de funções com arcsin, e a gente vai usar a teoria de que o argumento de arcsin(u) precisa estar entre -1 e 1.

Passo 2

Por definição de arco-seno, arcsin(u) só existe se
-1 <= u <= 1

Passo 3

Aqui vamos chamar o argumento de
u = x^2 - y^2 + z^2 - 2
Então a condição vira
$$
-1 \le x^2 - y^2 + z^2 - 2 \le 1.
$$

Passo 4

Agora é só isolar em x,y,z: somando 2 em toda a desigualdade, obtemos
1 <= x^2 - y^2 + z^2 <= 3

Passo 5

Geometricamente, cada superfície de nível
x^2 - y^2 + z^2 = c
(com c>0) é um hiperbolóide de uma folha. No nosso caso, as fronteiras são os hiperbolóides de nível c=1 e c=3, e o domínio é a região do espaço situada entre eles.

Resposta

D=(x,y,z)inR^3:,1<= x^2 - y^2 + z^2<=3

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