Descreva as curvas (ou superfícies) de nível das seguintes funções
g(x, y, z)=3+x-y^2-z^2

Passo 1

Estamos considerando a função de três variáveis g(x,y,z)=3+x-y^2-z^2. Queremos descrever as superfícies de nível, isto é, os conjuntos de pontos (x,y,z) tais que g(x,y,z)=k para cada valor real k. Para isso, vamos usar a definição de superfície de nível e identificar o tipo de superfície quadrática.

Passo 2

Para encontrar cada superfície de nível, impomos g(x,y,z)=k. Assim, temos
3 + x - y^2 - z^2 = k

Passo 3

Reorganizando essa equação, isolamos x:
x - y^2 - z^2 = k - 3 Longrightarrow x = y^2 + z^2 + (k - 3)

Passo 4

A equação
x = y^2 + z^2 + (k - 3)
é a forma geral de um paraboloide elíptico cujo eixo principal é paralelo ao eixo x. O parâmetro (k-3) desloca o vértice desse paraboloide ao longo do eixo x.

Resposta

Para cada kinR, a superfície de nível g(x,y,z)=k é um paraboloide elíptico dado por
x = y^2 + z^2 + (k - 3),
com vértice em (k-3,0,0) e eixo paralelo ao eixo x.

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