Descreva e desenhe em O x y z o conjunto dado em coordenadas esféricas:
\varphi=\pi / 2

Passo 1

O enunciado pede: descrever e desenhar, no sistema de coordenadas cartesianas Oxyz, o conjunto dado em coordenadas esféricas pela equação \varphi=\pi/2.\n
Informações fornecidas: \varphi=\pi/2.\n
Observação importante (ambiguidade de convenção): vou usar a convenção usual em que as coordenadas esféricas são (\rho,\theta,\varphi) com \rho\ge 0, 0\le \theta<2\pi (ângulo azimutal no plano xy medido a partir do eixo x) e 0\le \varphi\le\pi (ângulo polar medido a partir do eixo positivo z). Se você usa outra convenção (por exemplo trocando \theta e \varphi), diga, mas aqui assumo a convenção acima.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas de conversão da coordenada esférica (\rho,\theta,\varphi) para coordenadas cartesianas (x,y,z). Essas fórmulas dizem como cada coordenada cartesiana depende de \rho, \theta e \varphi:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,
y=\rho\sin\varphi\sin\theta,
z=\rho\cos\varphi.
Expliquei o que cada símbolo significa: \rho é a distância do ponto à origem, \theta é o ângulo no plano xy (como em coordenadas polares) e \varphi é o ângulo entre o raio e o eixo z (ângulo polar). Essas fórmulas são usadas para traduzir a condição dada em esféricas para uma condição em x,y,z.

Passo 3

Agora imponho a condição do enunciado \varphi=\pi/2 na fórmula para z. Substituindo:
z=\rho\cos\varphi=\rho\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right).
Como \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0, segue que
z=0.
Portanto todo ponto que satisfaz \varphi=\pi/2 tem coordenada z igual a zero.

Passo 4

Para ver completamente quais pontos do plano z=0 aparecem, vejamos x e y com \varphi=\pi/2. Como \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1, temos
x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta.
Isto é exatamente a parametrização polar do plano z=0: para cada \rho\ge 0 e cada \theta obtemos um ponto com coordenadas (x,y)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta). Além disso,
x^{2}+y^{2}=\rho^{2}.
Logo, variando \rho e \theta obtemos todos os pontos do plano z=0 (o plano Oxy). Sobre a origem: \rho=0 (0,0,0); tecnicamente o ângulo \varphi é indiferente na origem, mas convencionamos que o ponto origem é representável e pertence ao plano z=0. Assim o conjunto descrito é exatamente o plano z=0.

Passo 5

Como desenhar no sistema Oxyz:\n
  1. Desenhe os três eixos ortogonais x, y e z com a origem O.\n
  2. O plano pedido é o plano horizontal que contém os eixos x e y; marque-o e rotule como z=0 ou plano Oxy.\n
  3. Para ilustrar a parametrização, desenhe alguns círculos de raio \rho no plano z=0 centrados na origem (por exemplo \rho=1,2), e marque um ponto genérico P nesse plano com coordenadas P(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,0). Isto mostra que, variando \theta percorremos um círculo de raio \rho, e variando \rho obtemos círculos de raios diferentes, preenchendo todo o plano.\n
    Assim o desenho é simplesmente o plano Oxy (o eixo z é perpendicular a ele).

Passo 6

Conclusão didática: a condição \varphi=\tfrac{\pi}{2} fixa o ângulo polar para ser perpendicular ao eixo z, ou seja, força \cos\varphi=0 e, por consequência, z=0. Em coordenadas esféricas isso é a parametrização polar do plano z=0. Então, mentalmente, pense em "pegar a circunferência de raio \rho no plano xy dada por \theta" e deixar \rho variar para preencher todo o plano.

Resposta

\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=0\} (o plano Oxy).

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