Descreva e desenhe em
o conjunto dado em coordenadas esféricas:
Passo 1
O enunciado pede: descrever e desenhar, no sistema de coordenadas cartesianas
, o conjunto dado em coordenadas esféricas pela equação
.\n
Informações fornecidas: .\n
Observação importante (ambiguidade de convenção): vou usar a convenção usual em que as coordenadas esféricas são com
,
(ângulo azimutal no plano
medido a partir do eixo
) e
(ângulo polar medido a partir do eixo positivo
). Se você usa outra convenção (por exemplo trocando
e
), diga, mas aqui assumo a convenção acima.
Informações fornecidas:
Observação importante (ambiguidade de convenção): vou usar a convenção usual em que as coordenadas esféricas são
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas de conversão da coordenada esférica
para coordenadas cartesianas
. Essas fórmulas dizem como cada coordenada cartesiana depende de
,
e
:
Expliquei o que cada símbolo significa:
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo no plano
(como em coordenadas polares) e
é o ângulo entre o raio e o eixo
(ângulo polar). Essas fórmulas são usadas para traduzir a condição dada em esféricas para uma condição em
.
Passo 3
Agora imponho a condição do enunciado
na fórmula para
. Substituindo:
Como
, segue que
Portanto todo ponto que satisfaz
tem coordenada
igual a zero.
Passo 4
Para ver completamente quais pontos do plano
aparecem, vejamos
e
com
. Como
, temos
Isto é exatamente a parametrização polar do plano
: para cada
e cada
obtemos um ponto com coordenadas
. Além disso,
Logo, variando
e
obtemos todos os pontos do plano
(o plano
). Sobre a origem:
dá
; tecnicamente o ângulo
é indiferente na origem, mas convencionamos que o ponto origem é representável e pertence ao plano
. Assim o conjunto descrito é exatamente o plano
.
Passo 5
Como desenhar no sistema
:\n
- Desenhe os três eixos ortogonais
, e com a origem .\n - O plano pedido é o plano horizontal que contém os eixos
e ; marque-o e rotule como ou plano .\n - Para ilustrar a parametrização, desenhe alguns círculos de raio
no plano centrados na origem (por exemplo ), e marque um ponto genérico nesse plano com coordenadas . Isto mostra que, variando percorremos um círculo de raio , e variando obtemos círculos de raios diferentes, preenchendo todo o plano.\n
Assim o desenho é simplesmente o plano(o eixo é perpendicular a ele).
Passo 6
Conclusão didática: a condição
fixa o ângulo polar para ser perpendicular ao eixo
, ou seja, força
e, por consequência,
. Em coordenadas esféricas isso é a parametrização polar do plano
. Então, mentalmente, pense em "pegar a circunferência de raio
no plano
dada por
" e deixar
variar para preencher todo o plano.