Descreva a diretriz e a direção de duas geratrizes para a seguinte superfície em
:
Passo 1
O enunciado dá a superfície em
e pede que eu descreva a diretriz e a direção de duas geratrizes da superfície. Informações relevantes dadas:
- A superfície é dada explicitamente por
em função de (não depende de ). - Preciso indicar a curva que serve de diretriz (aquela curva que, ao ser deslocada ao longo de uma reta-direção, gera a superfície) e a direção (vetor) de duas geratrizes (linhas geradoras).
Passo 2
Entender o que é uma superfície gerada por geratrizes (explicação didática).
- Uma superfície é chamada regrada (ou “regulada”/ruled surface) se pode ser gerada por mover uma reta (chamada geratriz) ao longo de uma curva (chamada diretriz).
- Em coordenadas, uma família de geratrizes paralelas corresponde a uma parametrização do tipo
onde
é a diretriz (curva em
dependente de
) e
é um vetor fixo que dá a direção das geratrizes; o parâmetro
varia ao longo de cada reta geratriz.
- Vou aplicar essa ideia ao caso concreto dado.
Passo 3
Observar a dependência da função e escolher uma parametrização conveniente.
- A superfície dada é
; não há na expressão. Isso sugere que, para cada valor fixo de , é fixo igual a e pode variar livremente. - Uma parametrização natural é usar
para o parâmetro ao longo da geratriz (variação em ) e para a diretriz (variação em ):
- Aqui
percorre a diretriz (a curva no plano -fixo) e percorre cada geratriz.
Passo 4
Identificar explicitamente a diretriz (explicação e escolha).
- A diretriz é a curva obtida fixando
(ou qualquer outra abscissa fixa) na parametrização e variando . Escolho
- Em palavras: a diretriz é a curva senoidal no plano
, dada por . Essa curva é a “perfil” que, ao ser deslocado paralelamente ao eixo , gera a superfície.
Passo 5
Mostrar que as geratrizes são retas paralelas e encontrar sua direção (passo a passo).
- Para cada valor fixo
, a curva obtida variando é
- Essa é a equação paramétrica de uma reta em
. Pode ser escrita como ponto + parâmetro vezes vetor direção:
- Portanto cada geratriz é uma reta paralela ao vetor
- Conclusão: todas as geratrizes são retas paralelas ao eixo
(ou seja, paralelas ao vetor ).
Passo 6
Exemplificar duas geratrizes concretas (duas retas) e explicar seus elementos.
- Escolho
e como exemplos simples. - Para
: . A geratriz é
- Para
: . A geratriz é
- Para
- Em ambos os casos o vetor direção é
. Essas duas retas passam pelos pontos e da diretriz, respectivamente, e se estendem paralelamente ao eixo .
Passo 7
Resumo interpretativo e dica para prova (pequena aula prática).
- Sempre que uma superfície vier dada por
(sem dependência de ), ela é um cilindro reto com geratrizes paralelas ao eixo : diretriz é a curva e direção das geratrizes é . - Técnica rápida para identificar diretriz e geratrizes: escrever a parametrização
, ver que para fixo varia-se uma reta em com direção . - Força aí — na prova reconheça o padrão “dependência apenas de uma variável” e já saiba que é um cilindro com geratrizes paralelas ao eixo da variável ausente.
Resposta
Diretriz:
.\newline
Duas geratrizes (exemplos): e
.\newline
Direção das geratrizes: .
Duas geratrizes (exemplos):
Direção das geratrizes: