Descreva a diretriz e a direção de duas geratrizes para a seguinte superfície em \mathbb{R}^{3} :
z=\operatorname{sen} y

Passo 1

O enunciado dá a superfície em \mathbb{R}^3
z=\sin y
e pede que eu descreva a diretriz e a direção de duas geratrizes da superfície. Informações relevantes dadas:
  • A superfície é dada explicitamente por z em função de y (não depende de x).
  • Preciso indicar a curva que serve de diretriz (aquela curva que, ao ser deslocada ao longo de uma reta-direção, gera a superfície) e a direção (vetor) de duas geratrizes (linhas geradoras).

Passo 2

Entender o que é uma superfície gerada por geratrizes (explicação didática).
  • Uma superfície é chamada regrada (ou “regulada”/ruled surface) se pode ser gerada por mover uma reta (chamada geratriz) ao longo de uma curva (chamada diretriz).
  • Em coordenadas, uma família de geratrizes paralelas corresponde a uma parametrização do tipo
\mathbf r(t,u)=\mathbf c(u)+t\,\mathbf d,
onde \mathbf c(u) é a diretriz (curva em \mathbb{R}^3 dependente de u) e \mathbf d é um vetor fixo que dá a direção das geratrizes; o parâmetro t varia ao longo de cada reta geratriz.
  • Vou aplicar essa ideia ao caso concreto dado.

Passo 3

Observar a dependência da função e escolher uma parametrização conveniente.
  • A superfície dada é z=\sin y; não há x na expressão. Isso sugere que, para cada valor fixo de y, z é fixo igual a \sin y e x pode variar livremente.
  • Uma parametrização natural é usar t para o parâmetro ao longo da geratriz (variação em x) e u para a diretriz (variação em y):
\mathbf r(t,u)=(t,u,\sin u).
  • Aqui u percorre a diretriz (a curva no plano x-fixo) e t percorre cada geratriz.

Passo 4

Identificar explicitamente a diretriz (explicação e escolha).
  • A diretriz é a curva obtida fixando x=0 (ou qualquer outra abscissa fixa) na parametrização e variando y. Escolho
\mathbf c(u)=(0,u,\sin u),\qquad u\in\mathbb{R}.
  • Em palavras: a diretriz é a curva senoidal no plano x=0, dada por y\mapsto (0,y,\sin y). Essa curva é a “perfil” que, ao ser deslocado paralelamente ao eixo x, gera a superfície.

Passo 5

Mostrar que as geratrizes são retas paralelas e encontrar sua direção (passo a passo).
  • Para cada valor fixo u=u_0, a curva obtida variando t é
\mathbf r_{u_0}(t)=(t,u_0,\sin u_0),\qquad t\in\mathbb{R}.
  • Essa é a equação paramétrica de uma reta em \mathbb{R}^3. Pode ser escrita como ponto + parâmetro vezes vetor direção:
\mathbf r_{u_0}(t)=(0,u_0,\sin u_0)+t\,(1,0,0).
  • Portanto cada geratriz é uma reta paralela ao vetor
\mathbf d=(1,0,0).
  • Conclusão: todas as geratrizes são retas paralelas ao eixo x (ou seja, paralelas ao vetor (1,0,0)).

Passo 6

Exemplificar duas geratrizes concretas (duas retas) e explicar seus elementos.
  • Escolho u_0=0 e u_0=\tfrac{\pi}{2} como exemplos simples.
    • Para u_0=0: \sin 0=0. A geratriz é
    L_1=\{(t,0,0): t\in\mathbb{R}\}=(0,0,0)+t\,(1,0,0).
    • Para u_0=\tfrac{\pi}{2}: \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1. A geratriz é
    L_2=\Bigl\{(t,\tfrac{\pi}{2},1): t\in\mathbb{R}\Bigr\}=(0,\tfrac{\pi}{2},1)+t\,(1,0,0).
  • Em ambos os casos o vetor direção é (1,0,0). Essas duas retas passam pelos pontos (0,0,0) e (0,\tfrac{\pi}{2},1) da diretriz, respectivamente, e se estendem paralelamente ao eixo x.

Passo 7

Resumo interpretativo e dica para prova (pequena aula prática).
  • Sempre que uma superfície vier dada por z=f(y) (sem dependência de x), ela é um cilindro reto com geratrizes paralelas ao eixo x: diretriz é a curva (0,y,f(y)) e direção das geratrizes é (1,0,0).
  • Técnica rápida para identificar diretriz e geratrizes: escrever a parametrização \mathbf r(t,u)=(t,u,f(u)), ver que para u fixo varia-se uma reta em t com direção \partial\mathbf r/\partial t.
  • Força aí — na prova reconheça o padrão “dependência apenas de uma variável” e já saiba que é um cilindro com geratrizes paralelas ao eixo da variável ausente.

Resposta

Diretriz: \mathbf c(u)=(0,u,\sin u),\\ u\in\mathbb{R}.\newline
Duas geratrizes (exemplos): L_1=\{(t,0,0):t\in\mathbb{R}\} e L_2=\{(t,\tfrac{\pi}{2},1):t\in\mathbb{R}\}.\newline
Direção das geratrizes: (1,0,0).

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