Esboce o cilindro parabólico dado por
no primeiro octante para
.
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o cilindro parabólico dado por
no primeiro octante, restrito por
.
Informações dadas e o que é pedido:
- Equação da superfície:
. - Restrição em
: . - Primeiro octante significa
. - Pedido: esboçar (desenhar) a parte da superfície que está nesse domínio.
Passo 2
Entender o que é essa superfície (intuição geométrica).
A equação
não envolve
. Isso significa que, para cada valor fixo de
, o valor de
é determinado e independe de
. Geometricamente:
- Em planos paralelos ao plano
(ou seja, tomando constante), a interseção da superfície é sempre a mesma parábola . - Se pensar em “pegar” a parábola
no plano e “arrastar” essa curva na direção do eixo , obtém-se a superfície completa. Por isso chamamos de cilindro parabólico — é uma parábola extrudada ao longo de uma direção (aqui, a direção do eixo ).
Passo 3
Parâmetro e domínio (representação útil para desenhar e para provas).
Uma parametrização natural é tomar como parâmetros
e
(mas podemos usar
diretamente). Por exemplo:
com
Aqui
corresponde a
e
corresponde a
. Esta parametrização diz exatamente: para cada
(cada parábola), eu tenho uma reta paralela ao eixo
(variando
de
a
).
Passo 4
Traços e cortes que ajudam a esboçar (regras práticas).
- Corte por um plano
(fixo): a curva é a parábola no plano . Ou seja, em qualquer plano paralelo ao vê-se a mesma parábola. - Corte por um plano
(fixo): a interseção é uma reta paralela ao eixo com coordenada . Em outras palavras, para a superfície é a linha , . - Corte por um plano
(fixo): as interseções são as retas paralelas ao eixo ; no primeiro octante fica só .
Exemplos numéricos úteis para desenhar:
- Para
: . Isso dá a aresta inferior que é a reta no segmento entre e . - Para
: . Isso dá uma reta de a . - Para
: . Isso dá uma reta de a .
Passo 5
Passo a passo prático para desenhar o esboço à mão (faça isso numa folha):
- Desenhe os três eixos: eixo
apontando para a direita, eixo para cima na folha (ou um pouco inclinado para dentro) e eixo vertical para cima (esboço 3D). Marque a origem . - No plano
(plano ), desenhe a parábola para . Marque pontos importantes: . Esse desenho fica “no fundo” do esboço (plano onde ). - Repita a mesma parábola no plano
: desenhe a parábola deslocada paralelamente à anterior, passando por . - Conecte os pontos correspondentes das duas parábolas por linhas retas paralelas ao eixo
. Por exemplo, conecte a ; conecte a . Essas linhas mostram que a parábola foi “extrudada” ao longo de . - Trace algumas curvas de nível (para dar sensação de superfície): por exemplo, as linhas horizontais em alturas
correspondem a retas em respectivamente, todas paralelas a . - Escureça levemente a superfície entre essas linhas, e destaque as arestas: o segmento em
e (na borda inferior) e as parábolas nas faces e .
Passo 6
Descrição final do objeto que se deve obter
O pedaço do cilindro parabólico no primeiro octante é a superfície parametrizada por
com
e
. Geometricamente é a parábola
extrudada na direção do eixo
entre os planos
e
, limitada ainda pelas condições do primeiro octante (
e
).
Resposta
Parâmetrização:
. \nEsboço: desenhar a parábola
no plano
e no plano
e ligar pontos correspondentes por retas paralelas ao eixo
(por exemplo, ligar
a
,
a
,
a
), obtendo a superfície no primeiro octante.