Esboce o cilindro parabólico dado por z=y^{2} no primeiro octante para 0 \leq x \leq 3.

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o cilindro parabólico dado por \,z=y^{2}\, no primeiro octante, restrito por \,0 \leq x \leq 3\,.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Equação da superfície: \,z=y^{2}\,.
  • Restrição em x: \,0 \leq x \leq 3\,.
  • Primeiro octante significa \,x\ge 0,\;y\ge 0,\;z\ge 0\,.
  • Pedido: esboçar (desenhar) a parte da superfície que está nesse domínio.

Passo 2

Entender o que é essa superfície (intuição geométrica).
A equação \,z=y^{2}\, não envolve x. Isso significa que, para cada valor fixo de y, o valor de z é determinado e independe de x. Geometricamente:
  • Em planos paralelos ao plano yz (ou seja, tomando x= constante), a interseção da superfície é sempre a mesma parábola \,z=y^{2}\,.
  • Se pensar em “pegar” a parábola \,z=y^{2}\, no plano x=0 e “arrastar” essa curva na direção do eixo x, obtém-se a superfície completa. Por isso chamamos de cilindro parabólico — é uma parábola extrudada ao longo de uma direção (aqui, a direção do eixo x).

Passo 3

Parâmetro e domínio (representação útil para desenhar e para provas).
Uma parametrização natural é tomar como parâmetros u e v (mas podemos usar x,y diretamente). Por exemplo:
\mathbf{r}(u,v)=(u,\;v,\;v^{2}),
com
0 \le u \le 3,\qquad v\ge 0.
Aqui u corresponde a x e v corresponde a y. Esta parametrização diz exatamente: para cada v (cada parábola), eu tenho uma reta paralela ao eixo x (variando u de 0 a 3).

Passo 4

Traços e cortes que ajudam a esboçar (regras práticas).
  • Corte por um plano x=x_{0} (fixo): a curva é a parábola \,z=y^{2}\, no plano x=x_{0}. Ou seja, em qualquer plano paralelo ao yz vê-se a mesma parábola.
  • Corte por um plano y=y_{0} (fixo): a interseção é uma reta paralela ao eixo x com coordenada z=y_{0}^{2}. Em outras palavras, para y=y_{0} a superfície é a linha \,z=y_{0}^{2}\,, 0\le x\le3.
  • Corte por um plano z=z_{0} (fixo): as interseções são as retas y=\pm\sqrt{z_{0}} paralelas ao eixo x; no primeiro octante fica só y=+\sqrt{z_{0}}.
Exemplos numéricos úteis para desenhar:
  • Para y=0: z=0. Isso dá a aresta inferior que é a reta no segmento entre (0,0,0) e (3,0,0).
  • Para y=1: z=1. Isso dá uma reta de (0,1,1) a (3,1,1).
  • Para y=2: z=4. Isso dá uma reta de (0,2,4) a (3,2,4).

Passo 5

Passo a passo prático para desenhar o esboço à mão (faça isso numa folha):
  1. Desenhe os três eixos: eixo x apontando para a direita, eixo y para cima na folha (ou um pouco inclinado para dentro) e eixo z vertical para cima (esboço 3D). Marque a origem (0,0,0).
  2. No plano x=0 (plano yz), desenhe a parábola \,z=y^{2}\, para y\ge 0. Marque pontos importantes: (y,z)=(0,0),(1,1),(2,4). Esse desenho fica “no fundo” do esboço (plano onde x=0).
  3. Repita a mesma parábola no plano x=3: desenhe a parábola deslocada paralelamente à anterior, passando por (3,0,0),(3,1,1),(3,2,4).
  4. Conecte os pontos correspondentes das duas parábolas por linhas retas paralelas ao eixo x. Por exemplo, conecte (0,1,1) a (3,1,1); conecte (0,2,4) a (3,2,4). Essas linhas mostram que a parábola foi “extrudada” ao longo de x.
  5. Trace algumas curvas de nível (para dar sensação de superfície): por exemplo, as linhas horizontais em alturas z=0,1,4 correspondem a retas em y=0,1,2 respectivamente, todas paralelas a x.
  6. Escureça levemente a superfície entre essas linhas, e destaque as arestas: o segmento em y=0 e 0\le x\le3 (na borda inferior) e as parábolas nas faces x=0 e x=3.

Passo 6

Descrição final do objeto que se deve obter
O pedaço do cilindro parabólico no primeiro octante é a superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v)=(u,v,v^{2}) com 0\le u\le 3 e v\ge 0. Geometricamente é a parábola \,z=y^{2}\, extrudada na direção do eixo x entre os planos \,x=0\, e \,x=3\,, limitada ainda pelas condições do primeiro octante ( y\ge0 e z\ge0).

Resposta

Parâmetrização: \displaystyle \mathbf{r}(u,v)=(u,v,v^{2}),\;0\le u\le 3,\;v\ge 0. \nEsboço: desenhar a parábola \,z=y^{2}\, no plano x=0 e no plano x=3 e ligar pontos correspondentes por retas paralelas ao eixo x (por exemplo, ligar (0,0,0) a (3,0,0), (0,1,1) a (3,1,1), (0,2,4) a (3,2,4)), obtendo a superfície no primeiro octante.

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