Calcule
, se D é a região limitada por
e o eixo dos y. Faça um esboço da região D .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular
. - Fazer um esboço da região
.
As informações dadas sobre
são:
-
é a região limitada por , por e pelo eixo dos (ou seja, pela reta ). - Não há outras curvas de fechamento mencionadas.
Resumo das condições que definem
:
-
está entre as retas e , isto é, . - A região fica à direita ou à esquerda do eixo dos
? A condição “limitada pelo eixo dos ” indica que o eixo (reta ) é uma das fronteiras; combinando com as outras duas retas teremos as desigualdades que definem (ver passo seguinte para explicitar).
Passo 2
Descrição geométrica e esboço de
.
- Interseções importantes (pego direto das equações das retas):
- A reta
intercepta o eixo dos em . - A reta
intercepta o eixo dos em .
-
Então, no plano
as três curvas formam uma faixa paralela às retas e com a borda esquerda no eixo . Essas duas retas são paralelas (mesmo coeficiente angular ) e nunca se encontram; o eixo corta cada uma em dois pontos distintos. Logo é uma região em forma de faixa que se abre para a direita e é ilimitada nessa direção. -
Como esboçar (passo a passo simples para você fazer no caderno):
- Desenhe os eixos
(horizontal) e (vertical). - Trace a reta
(diagonal passando por com 45°). - Trace a reta
(mesma inclinação, deslocada para cima; passa por ). - Trace a reta vertical
(eixo ). - A região
é a faixa entre as duas retas, limitada à esquerda pelo eixo . Sombrar a região entre e para .
(esboço simples em ASCII aproximado)
y
^
| / <- y = x+2
| /
| /
| / <- faixa entre as retas (sombrada, para x>=0)
| /
| /
| / <- y = x
| /
±-----------------> x
(0,2) (0,0)
y
^
| / <- y = x+2
| /
| /
| / <- faixa entre as retas (sombrada, para x>=0)
| /
| /
| / <- y = x
| /
±-----------------> x
(0,2) (0,0)
Passo 3
Escolhendo uma parametrização conveniente e escrever as desigualdades de
.
Observe que as duas retas são paralelas com diferença vertical constante
. Uma boa mudança de variáveis linear é definir
Explicando:
mede a distância vertical entre
e
; a condição
torna-se simplesmente
. A variável
fica sendo a abscissa
. Assim, a região
em termos de
fica muito simples:
Ou seja, no plano
a região é o retângulo semi-infinito
,
.
Agora escrevemos a transformação inversa (para saber como a função
e o jacobiano mudam):
Passo 4
Cálculo do jacobiano da mudança
.
A matriz jacobiana
é
O determinante desta matriz (o jacobiano) é
Portanto
, isto é,
.
Também precisamos transformar a função integranda:
torna-se, substituindo
e
,
Passo 5
Escrever a integral na nova parametrização e avaliar (verificar convergência).
Usando
com
e os limites encontrados:
Expandindo o integrando:
Agora considere a integral interna em
:
Cada um desses integrais impropriamente calculados em
diverge: por exemplo,
e também
e
. Logo a integral interna é infinita para todo
. Em particular, a integral dupla diverge.
Uma observação didática curta: basta notar um termo dominante para ver a divergência. Para
grande temos
, assim
o que já mostra que a integral sobre
(e portanto a integral dupla) não converge.
Passo 6
Interpretação final e comentário pedagógico.
- Geometricamente,
é uma faixa ilimitada para a direita (entre duas retas paralelas), logo é natural que a integral de uma função que cresce com possa divergir. - A mudança de variáveis
é um truque padrão para transformar faixas paralelas em retângulos (ou retângulos semi-infinitos), porque simplifica os limites; sempre calcule o jacobiano para ajustar a medida . - Ao ver uma integral dupla em região não limitada, sempre verificar se a integral imprópria converge: aqui o termo
faz com que a área sob a curva vá para infinito.