Calcule \iint_{D}(x+y)^{2} d x d y, se D é a região limitada por y=x, \quad y=x+2 e o eixo dos y. Faça um esboço da região D .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular \iint_{D}(x+y)^{2}\,dx\,dy.
  • Fazer um esboço da região D.
As informações dadas sobre D são:
  • D é a região limitada por y=x, por y=x+2 e pelo eixo dos y (ou seja, pela reta x=0).
  • Não há outras curvas de fechamento mencionadas.
Resumo das condições que definem D:
  • y está entre as retas y=x e y=x+2, isto é, x \le y \le x+2.
  • A região fica à direita ou à esquerda do eixo dos y? A condição “limitada pelo eixo dos y” indica que o eixo y (reta x=0) é uma das fronteiras; combinando com as outras duas retas teremos as desigualdades que definem D (ver passo seguinte para explicitar).

Passo 2

Descrição geométrica e esboço de D.
  1. Interseções importantes (pego direto das equações das retas):
  • A reta y=x intercepta o eixo dos y em (0,0).
  • A reta y=x+2 intercepta o eixo dos y em (0,2).
  1. Então, no plano (x,y) as três curvas formam uma faixa paralela às retas y=x e y=x+2 com a borda esquerda no eixo y. Essas duas retas são paralelas (mesmo coeficiente angular 1) e nunca se encontram; o eixo y corta cada uma em dois pontos distintos. Logo D é uma região em forma de faixa que se abre para a direita e é ilimitada nessa direção.
  2. Como esboçar (passo a passo simples para você fazer no caderno):
  • Desenhe os eixos x (horizontal) e y (vertical).
  • Trace a reta y=x (diagonal passando por (0,0) com 45°).
  • Trace a reta y=x+2 (mesma inclinação, deslocada para cima; passa por (0,2)).
  • Trace a reta vertical x=0 (eixo y).
  • A região D é a faixa entre as duas retas, limitada à esquerda pelo eixo y. Sombrar a região entre y=x e y=x+2 para x\ge 0.
(esboço simples em ASCII aproximado)
y
^
| / <- y = x+2
| /
| /
| / <- faixa entre as retas (sombrada, para x>=0)
| /
| /
| / <- y = x
| /
±-----------------> x
(0,2) (0,0)

Passo 3

Escolhendo uma parametrização conveniente e escrever as desigualdades de D.
Observe que as duas retas são paralelas com diferença vertical constante 2. Uma boa mudança de variáveis linear é definir
u = y-x,\qquad v = x.
Explicando: u mede a distância vertical entre y e x; a condição x\le y\le x+2 torna-se simplesmente 0\le u \le 2. A variável v fica sendo a abscissa x. Assim, a região D em termos de (u,v) fica muito simples:
0 \le u \le 2,\qquad v \ge 0.
Ou seja, no plano (u,v) a região é o retângulo semi-infinito u\in[0,2], v\in[0,\infty).
Agora escrevemos a transformação inversa (para saber como a função x+y e o jacobiano mudam):
x = v,\qquad y = v+u.

Passo 4

Cálculo do jacobiano da mudança (v,u)\mapsto(x,y).
A matriz jacobiana \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(v,u)} é
\begin{pmatrix} \partial x/\partial v & \partial x/\partial u\\[4pt] \partial y/\partial v & \partial y/\partial u \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante desta matriz (o jacobiano) é
J=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot1=1.
Portanto |J|=1, isto é, dx\,dy = dv\,du.
Também precisamos transformar a função integranda: (x+y)^2 torna-se, substituindo x=v e y=v+u,
(x+y)^2 = (v + v + u)^2 = (2v+u)^2.]

Passo 5

Escrever a integral na nova parametrização e avaliar (verificar convergência).
Usando (u,v) com |J|=1 e os limites encontrados:
\iint_{D} (x+y)^2\,dx\,dy = \int_{u=0}^{2} \int_{v=0}^{\infty} (2v+u)^2 \, dv\, du.
Expandindo o integrando:
(2v+u)^2 = 4v^2 + 4uv + u^2.
Agora considere a integral interna em v:
\int_{0}^{\infty} (4v^2 + 4uv + u^2)\,dv = 4\int_{0}^{\infty} v^2\,dv \;+\; 4u\int_{0}^{\infty} v\,dv \;+\; u^2\int_{0}^{\infty} 1\,dv.
Cada um desses integrais impropriamente calculados em [0,\infty) diverge: por exemplo,
\int_{0}^{\infty} v^2\,dv = \lim_{R\to\infty}\frac{R^{3}}{3} = +\infty,
e também \int_{0}^{\infty} v\,dv = +\infty e \int_{0}^{\infty} 1\,dv = +\infty. Logo a integral interna é infinita para todo u\in[0,2]. Em particular, a integral dupla diverge.
Uma observação didática curta: basta notar um termo dominante para ver a divergência. Para v grande temos (2v+u)^2\ge 4v^2, assim
\int_{0}^{\infty} (2v+u)^2\,dv \ge 4\int_{0}^{\infty} v^2\,dv = +\infty,
o que já mostra que a integral sobre v (e portanto a integral dupla) não converge.

Passo 6

Interpretação final e comentário pedagógico.
  • Geometricamente, D é uma faixa ilimitada para a direita (entre duas retas paralelas), logo é natural que a integral de uma função que cresce com x possa divergir.
  • A mudança de variáveis u=y-x,\\ v=x é um truque padrão para transformar faixas paralelas em retângulos (ou retângulos semi-infinitos), porque simplifica os limites; sempre calcule o jacobiano para ajustar a medida dx\,dy.
  • Ao ver uma integral dupla em região não limitada, sempre verificar se a integral imprópria converge: aqui o termo 4v^2 faz com que a área sob a curva vá para infinito.

Resposta

\text{A integral diverge (é }+\infty\text{).}é

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