Descreva dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} que satisfaçam às seguintes condições:
\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{a}-\mathrm{b}

Passo 1

O enunciado pede para descrever dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} que satisfaçam a igualdade
\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{a}-\mathbf{b}.
Informações dadas:
  • A única equação que relaciona \mathbf{a} e \mathbf{b} é a mostrada acima.
  • Não há restrição explícita sobre a dimensão dos vetores (podem ser em \mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3,\ldots).
O que se pede: encontrar (descrever) vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} que satisfaçam essa relação.

Passo 2

Entendendo o que significa a igualdade entre vetores. Duas observações importantes, bem práticas:
  • Dois vetores são iguais se, e somente se, todas as suas componentes correspondentes forem iguais.
  • Podemos manipular a equação de vetores exatamente como fazemos com números, respeitando as operações de soma, aditivo inverso e multiplicação por escalar.
Com isso em mente, vamos operar a equação dada.

Passo 3

Isolar \mathbf{b} subtraindo \mathbf{a} dos dois lados (equivalente a somar o inverso aditivo -\mathbf{a} em ambos os lados):
\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{a}-\mathbf{b}
\Rightarrow (\mathbf{a}+\mathbf{b})+(-\mathbf{a})=(\mathbf{a}-\mathbf{b})+(-\mathbf{a})
Como \mathbf{a}+(-\mathbf{a})=\mathbf{0}, isso simplifica para
\mathbf{b} = -\mathbf{b}.

Passo 4

Interpretando \mathbf{b} = -\mathbf{b}. Isso significa que cada componente de \mathbf{b} é igual ao seu negativo. Escrevendo por componentes, se \mathbf{b}=(b_1,b_2,\dots,b_n), então
b_i = -b_i \quad\text{para todo } i.
Isolando b_i obtemos 2b_i=0, logo b_i=0. Portanto todas as componentes de \mathbf{b} são nulas, isto é, \mathbf{b} é o vetor nulo.

Passo 5

Conclusão geral: a única possibilidade para \mathbf{b} é o vetor nulo \mathbf{0}. Não há nenhuma restrição sobre \mathbf{a}: qualquer vetor \mathbf{a} (em qualquer dimensão) juntamente com \mathbf{b}=\mathbf{0} satisfaz a igualdade original. Verificação rápida:
\mathbf{a}+\mathbf{0}=\mathbf{a}=\mathbf{a}-\mathbf{0}.

Passo 6

Exemplos concretos (para fixar):
  • Em \mathbb{R}^2: \mathbf{a}=(1,2) e \mathbf{b}=(0,0).
  • Em \mathbb{R}^3: \mathbf{a}=(5,-1,3) e \mathbf{b}=(0,0,0).
Dica para a prova: ao ver uma igualdade do tipo \mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{a}-\mathbf{b}, cancele o mesmo termo dos dois lados (aqui \mathbf{a}) para simplificar; frequentemente isso leva rapidamente à conclusão sobre o vetor nulo.

Resposta

\mathbf{b}=\mathbf{0} e \mathbf{a} pode ser qualquer vetor.
Exemplo: \mathbf{a}=(1,2), \mathbf{b}=(0,0).

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