Descreva dois vetores
e
que satisfaçam às seguintes condições:
Passo 1
O enunciado pede para descrever dois vetores
e
que satisfaçam a igualdade
Informações dadas:
- A única equação que relaciona
e é a mostrada acima. - Não há restrição explícita sobre a dimensão dos vetores (podem ser em
).
O que se pede: encontrar (descrever) vetores
e
que satisfaçam essa relação.
Passo 2
Entendendo o que significa a igualdade entre vetores. Duas observações importantes, bem práticas:
- Dois vetores são iguais se, e somente se, todas as suas componentes correspondentes forem iguais.
- Podemos manipular a equação de vetores exatamente como fazemos com números, respeitando as operações de soma, aditivo inverso e multiplicação por escalar.
Com isso em mente, vamos operar a equação dada.
Passo 3
Isolar
subtraindo
dos dois lados (equivalente a somar o inverso aditivo
em ambos os lados):
Como
, isso simplifica para
Passo 4
Interpretando
. Isso significa que cada componente de
é igual ao seu negativo. Escrevendo por componentes, se
, então
Isolando
obtemos
, logo
. Portanto todas as componentes de
são nulas, isto é,
é o vetor nulo.
Passo 5
Conclusão geral: a única possibilidade para
é o vetor nulo
. Não há nenhuma restrição sobre
: qualquer vetor
(em qualquer dimensão) juntamente com
satisfaz a igualdade original. Verificação rápida:
Passo 6
Exemplos concretos (para fixar):
- Em
: e . - Em
: e .
Dica para a prova: ao ver uma igualdade do tipo
, cancele o mesmo termo dos dois lados (aqui
) para simplificar; frequentemente isso leva rapidamente à conclusão sobre o vetor nulo.
Resposta
Exemplo: