Um deslocamento possui módulo s_{1}=30 \mathrm{~cm}. Outro deslocamento possui módulo s_{2}=40 \mathrm{~cm}. (a) Determine literalmente o módulo s do deslocamento resultante supondo que os dois deslocamentos sejam perpendiculares entre si. (b) Se o módulo de s for igual a 70 cm , qual seria a orientação relativa dos deslocamentos? (c) E se o módulo do deslocamento resultante for igual a 10 cm ? (d) Calcule o módulo do deslocamento resultante supondo que os deslocamentos componentes sejam perpendiculares entre si.
Resposta: ( a) s=\left(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}\right)^{1 / 2}. (b) Os dois deslocamentos seriam paralelos e de mesmo sentido. (c) Os dois deslocamentos seriam paralelos e de sentidos contrários. (d) s=50 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado fornece os módulos dos dois deslocamentos e pede várias coisas. Informações dadas:
  • s_{1}=30\\ \mathrm{cm}.
  • s_{2}=40\\ \mathrm{cm}.
O que se pede:
  • (a) Determinar, em forma literal, o módulo s do deslocamento resultante supondo que os dois deslocamentos sejam perpendiculares entre si.
  • (b) Se s=70\\ \mathrm{cm}, determinar a orientação relativa dos deslocamentos (mesmo sentido, sentidos opostos, ângulo, etc.).
  • (c) Se s=10\\ \mathrm{cm}, determinar a orientação relativa dos deslocamentos.
  • (d) Calcular numericamente o módulo do deslocamento resultante quando os componentes são perpendiculares entre si.

Passo 2

Fórmula geral (lei dos cossenos / produto escalar). Seja \theta o ângulo entre os dois deslocamentos. A maneira mais direta de relacionar os módulos é usar a identidade vetorial baseada no produto escalar:
s^{2} = s_{1}^{2} + s_{2}^{2} + 2\,s_{1}s_{2}\cos\theta.
Explicando cada termo:
  • s é o módulo do deslocamento resultante.
  • s_{1} e s_{2} são os módulos dos dois deslocamentos componentes.
  • \theta é o ângulo entre as direções dos dois deslocamentos.
    Essa fórmula vem de expandir \lvert \vec s_1 + \vec s_2\rvert^{2} = \vec s_1\cdot\vec s_1 + 2\vec s_1\cdot\vec s_2 + \vec s_2\cdot\vec s_2 e usar \vec s_1\cdot\vec s_2 = s_1 s_2\cos\theta.

Passo 3

Caso perpendicular. Quando os deslocamentos são perpendiculares entre si, o ângulo entre eles é \theta=90^\circ, e \cos\theta=0. Substituindo na fórmula geral obtemos:
s^{2} = s_{1}^{2} + s_{2}^{2} + 2\,s_{1}s_{2}\cdot 0 = s_{1}^{2} + s_{2}^{2}.
Tomando raiz quadrada positiva (módulo):
s = \left(s_{1}^{2} + s_{2}^{2}\right)^{1/2}.
Isto é exatamente o teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelos vetores.

Passo 4

Cálculo numérico para o caso perpendicular (parte (d)). Usando s_{1}=30\\ \mathrm{cm} e s_{2}=40\\ \mathrm{cm}:
s^{2} = 30^{2} + 40^{2} = 900 + 1600 = 2500.
Logo
s = \sqrt{2500} = 50\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Determinar a orientação quando s=70\\ \mathrm{cm} (parte (b)). Usamos a fórmula geral e isolamos \cos\theta:
\cos\theta = \frac{s^{2} - s_{1}^{2} - s_{2}^{2}}{2\,s_{1}s_{2}}.
Substituindo s=70\\ \mathrm{cm}, s_{1}=30\\ \mathrm{cm}, s_{2}=40\\ \mathrm{cm}:
\cos\theta = \frac{70^{2} - 30^{2} - 40^{2}}{2\cdot 30\cdot 40} = \frac{4900 - 900 - 1600}{2400} = \frac{2400}{2400} = 1.
Se \cos\theta = 1 então \theta=0^\circ: os vetores são paralelos e têm o mesmo sentido. Intuitivamente, o módulo resultante 70\\ \mathrm{cm} é justamente 30+40, ou seja, somaram-se como segmentos na mesma direção.

Passo 6

Determinar a orientação quando s=10\\ \mathrm{cm} (parte (c)). Novamente:
\cos\theta = \frac{10^{2} - 30^{2} - 40^{2}}{2\cdot 30\cdot 40} = \frac{100 - 900 - 1600}{2400} = \frac{-2400}{2400} = -1.
Se \cos\theta = -1 então \theta=180^\circ: os vetores são colineares (paralelos) e têm sentidos opostos. Intuitivamente, o módulo resultante 10\\ \mathrm{cm} é |40-30|, ou seja, a diferença de módulos quando estão em sentidos opostos.

Resposta

(a) s=\left(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}\right)^{1/2}
(b) Os dois deslocamentos seriam paralelos e de mesmo sentido.
(c) Os dois deslocamentos seriam paralelos e de sentidos contrários.
(d) s=50\\ \mathrm{cm}

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