Um deslocamento possui módulo
. Outro deslocamento possui módulo
. (a) Determine literalmente o módulo
do deslocamento resultante supondo que os dois deslocamentos sejam perpendiculares entre si. (b) Se o módulo de
for igual a 70 cm , qual seria a orientação relativa dos deslocamentos? (c) E se o módulo do deslocamento resultante for igual a 10 cm ? (d) Calcule o módulo do deslocamento resultante supondo que os deslocamentos componentes sejam perpendiculares entre si.
Resposta: (
. (b) Os dois deslocamentos seriam paralelos e de mesmo sentido. (c) Os dois deslocamentos seriam paralelos e de sentidos contrários. (d)
.
Resposta: (
Passo 1
O enunciado fornece os módulos dos dois deslocamentos e pede várias coisas. Informações dadas:
-
. -
.
O que se pede:
- (a) Determinar, em forma literal, o módulo
do deslocamento resultante supondo que os dois deslocamentos sejam perpendiculares entre si. - (b) Se
, determinar a orientação relativa dos deslocamentos (mesmo sentido, sentidos opostos, ângulo, etc.). - (c) Se
, determinar a orientação relativa dos deslocamentos. - (d) Calcular numericamente o módulo do deslocamento resultante quando os componentes são perpendiculares entre si.
Passo 2
Fórmula geral (lei dos cossenos / produto escalar). Seja
o ângulo entre os dois deslocamentos. A maneira mais direta de relacionar os módulos é usar a identidade vetorial baseada no produto escalar:
Explicando cada termo:
-
é o módulo do deslocamento resultante. -
e são os módulos dos dois deslocamentos componentes. -
é o ângulo entre as direções dos dois deslocamentos.
Essa fórmula vem de expandire usar .
Passo 3
Caso perpendicular. Quando os deslocamentos são perpendiculares entre si, o ângulo entre eles é
, e
. Substituindo na fórmula geral obtemos:
Tomando raiz quadrada positiva (módulo):
Isto é exatamente o teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelos vetores.
Passo 4
Cálculo numérico para o caso perpendicular (parte (d)). Usando
e
:
Logo
Passo 5
Determinar a orientação quando
(parte (b)). Usamos a fórmula geral e isolamos
:
Substituindo
,
,
:
Se
então
: os vetores são paralelos e têm o mesmo sentido. Intuitivamente, o módulo resultante
é justamente
, ou seja, somaram-se como segmentos na mesma direção.
Passo 6
Determinar a orientação quando
(parte (c)). Novamente:
Se
então
: os vetores são colineares (paralelos) e têm sentidos opostos. Intuitivamente, o módulo resultante
é
, ou seja, a diferença de módulos quando estão em sentidos opostos.
Resposta
(a)
(b) Os dois deslocamentos seriam paralelos e de mesmo sentido.
(c) Os dois deslocamentos seriam paralelos e de sentidos contrários.
(d)
(b) Os dois deslocamentos seriam paralelos e de mesmo sentido.
(c) Os dois deslocamentos seriam paralelos e de sentidos contrários.
(d)