Descreva o domínio, a imagem, as curvas de nível e esboce os gráficos da seguinte função:
f(x, y)=|x|+|y|.

Passo 1

A função f(x,y)=|x|+|y| é de duas variáveis reais. O que o enunciado pede é: 1) domínio, 2) imagem, 3) curvas de nível e 4) esboço do gráfico. Vamos usar propriedades do módulo e conceitos de nível e representação de superfícies.

Passo 2

Para o domínio, note que o valor absoluto |x| e |y| estão definidos para todo (x,y)inR^2. Logo,
Dom(f)=R^2

Passo 3

Quanto à imagem, como |x|>=0 e |y|>=0, temos f(x,y)=|x|+|y|>=0. Além disso, para qualquer t>=0 basta escolher (x,y)=(t,0) para obter f(t,0)=t. Assim,
Im(f)=[0,infty)

Passo 4

As curvas de nível vêm de resolver f(x,y)=k:
  • Se k<0, a equação não tem solução.
  • Se k=0, então |x|+|y|=0 implica x=0,y=0.
  • Se k>0, temos
|x|+|y|=k,
que é a fronteira de um losango centrado na origem com vértices em
(k,0),;(0,k),;(-k,0),;(0,-k)

Passo 5

Para esboçar o gráfico, elevamos o plano (x,y) ao eixo z via z=|x|+|y|. Isso gera uma pirâmide de base quadrada infinita (aberta) com vértice em (0,0,0) e faces planas. Em cada quadrante do plano xy a superfície coincide com um plano inclinado de equação z=pm xpm y.

Resposta

Domínio: R^2. Imagem: [0,infty). Curvas de nível: para k<0 não existem; para k=0, o ponto (0,0); para k>0, o losango |x|+|y|=k com vértices em (pm k,0) e (0,pm k). Gráfico: pirâmide de base quadrada (faces dadas por z=pm xpm y), vértice em (0,0,0) e borda aberta no infinito.

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