Descreva o domínio, a imagem, as curvas de nível e esboce os gráficos da seguinte função:
.
Passo 1
A função
é de duas variáveis reais. O que o enunciado pede é: 1) domínio, 2) imagem, 3) curvas de nível e 4) esboço do gráfico. Vamos usar propriedades do módulo e conceitos de nível e representação de superfícies.
Passo 2
Para o domínio, note que o valor absoluto
e
estão definidos para todo
. Logo,
Passo 3
Quanto à imagem, como
e
, temos
. Além disso, para qualquer
basta escolher
para obter
. Assim,
Passo 4
As curvas de nível vêm de resolver
:
- Se
, a equação não tem solução. - Se
, então implica . - Se
, temos
que é a fronteira de um losango centrado na origem com vértices em
Passo 5
Para esboçar o gráfico, elevamos o plano
ao eixo
via
. Isso gera uma pirâmide de base quadrada infinita (aberta) com vértice em
e faces planas. Em cada quadrante do plano
a superfície coincide com um plano inclinado de equação
.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
. Curvas de nível: para
não existem; para
, o ponto
; para
, o losango
com vértices em
e
. Gráfico: pirâmide de base quadrada (faces dadas por
), vértice em
e borda aberta no infinito.