Esboce o gráfico da função dada por três períodos, em seguida encontre a série de Fourier da função dada.
f(x)=x,-1 <= x<1, f(x+2)=f(x).

Passo 1

A função é periódica de período 2 e definida por f(x)=x em -1≤x<1. Precisamos esboçar três períodos (de x=-3 até x=3) e obter a série de Fourier para funções de período 2. Como f é ímpar, só teremos termos de seno. Vamos usar a teoria de séries de Fourier num intervalo [-L,L] com L=1.

Passo 2

Para esboçar: em cada intervalo de tamanho 2 temos uma “serra”. No período fundamental [-1,1], f(x)=x é a reta que vai de (-1,-1) a (1,1). Em [1,3], f(x)=x-2 desloca a reta para ir de (1,-1) a (3,1). Em [-3,-1], f(x)=x+2 vai de (-3,-1) a (-1,1). Juntando, temos três cópias desse segmento.

Passo 3

Como f é ímpar, o termo médio e os coeficientes de cosseno são nulos. De fato, com L=1: a₀=∫_{-1}^{1}x dx=0, e para n≥1 temos aₙ=∫_{-1}^{1}x cos(nπx) dx=0. Restam os coeficientes de seno bₙ=∫_{-1}^{1}x sin(nπx) dx.

Passo 4

Para calcular bₙ fazemos integração por partes: seja u=x, dv=sin(nπx)dx. Então v=-cos(nπx)/(nπ). Obtemos
bₙ=l[-xcos(npi x)npir]-1^1+1npiintegral-1^1cos(npi x)dx=-2(-1)^nnpi

Passo 5

Assim a série de Fourier fica
f(x)=sumn=1^inftybnsin(npi x)=-2pisumn=1^infty(-1)^nnsin(npi x)=2pisumn=1^infty(-1)^n+1nsin(npi x)

Resposta

f(x)=2pisumn=1^infty(-1)^n+1n,sin(npi x)

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