Utilize a transformada de Laplace para resolver:
y^prime prime(t)-9 y(t)=f(t)
onde y(0)=0, y^prime(0)=0 e f(t)=0, t in[0,2], f(t)=1, t in[2, infty).

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial $ y’’(t) - 9 y(t) = f(t) $ utilizando a Transformada de Laplace. Para isso, precisamos entender conceitos de transformadas de Laplace, propriedades das transformadas de derivadas e funções definidas por partes, já que $ f(t) $ muda de valor em $ t = 2 $. Vamos aplicar essas ferramentas para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais simples de resolver.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
Ly''(t) = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Como as condições iniciais são $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $, temos:
y(0) = 0
E a transformada de $ -9 y(t) $ é:
y'(0) = 0
Então, a transformada da equação completa fica:
Ly''(t) = s^2 Y(s)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar $ \mathcal{L}{f(t)} $. A função $ f(t) $ é definida como:
Lf(t)
Isso pode ser escrito usando a função degrau de Heaviside $ u(t) $:
f(t)
A transformada de $ u(t - a) $ é:
f(t) = 0, & 0 <= t < 2 1, & t >= 2
Portanto:
u(t)

Passo 4

Substituindo $ \mathcal{L}{f(t)} $ na equação transformada:
Lf(t)
Fatorando $ Y(s) $:
s^2 Y(s) - 9 Y(s) = e^-2ss
Isolando $ Y(s) $:
Y(s)

Passo 5

Vamos decompor a fração em frações parciais. Observamos que:
s^2 - 9 = (s - 3)(s + 3)
Então, a expressão fica:
1s(s - 3)(s + 3) = As + Bs - 3 + Cs + 3
Multiplicando ambos os lados por $ s(s - 3)(s + 3) $:
s(s - 3)(s + 3)
Para encontrar $ A, B, C $, escolhemos valores de $ s $ que simplificam a equação.

Passo 6

Escolhendo $ s = 0 $:
s = 0
Escolhendo $ s = 3 $:
1 = A(-3)(3) Rightarrow A = -19
Escolhendo $ s = -3 $:
s = 3
Portanto, a decomposição fica:
1 = B(3)(6) Rightarrow B = 118

Passo 7

Substituindo de volta em $ Y(s) $:
Y(s)

Passo 8

Aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo. Sabemos que:
L^-1 e^-2ss = u(t - 2)
L^-1 e^-2ss - a = e^a(t - 2)u(t - 2)
Portanto:
y(t) = -19 u(t - 2) + 118 e^3(t - 2) u(t - 2) + 118 e^-3(t - 2) u(t - 2)

Passo 9

Podemos simplificar usando a identidade:
e^3(t - 2) + e^-3(t - 2) = 2cosh(3(t - 2))
Então:
y(t) = u(t - 2) ( -19 + 19 cosh(3(t - 2)) )
y(t) = 19 ( cosh(3(t - 2)) - 1 ) u(t - 2)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 19 ( cosh(3(t - 2)) - 1 ) cdot u(t - 2)

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