Utilize a transformada de Laplace para resolver:
onde
e
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial $ y’’(t) - 9 y(t) = f(t) $ utilizando a Transformada de Laplace. Para isso, precisamos entender conceitos de transformadas de Laplace, propriedades das transformadas de derivadas e funções definidas por partes, já que $ f(t) $ muda de valor em $ t = 2 $. Vamos aplicar essas ferramentas para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais simples de resolver.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
Como as condições iniciais são $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $, temos:
E a transformada de $ -9 y(t) $ é:
Então, a transformada da equação completa fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar $ \mathcal{L}{f(t)} $. A função $ f(t) $ é definida como:
Isso pode ser escrito usando a função degrau de Heaviside $ u(t) $:
A transformada de $ u(t - a) $ é:
Portanto:
Passo 4
Substituindo $ \mathcal{L}{f(t)} $ na equação transformada:
Fatorando $ Y(s) $:
Isolando $ Y(s) $:
Passo 5
Vamos decompor a fração em frações parciais. Observamos que:
Então, a expressão fica:
Multiplicando ambos os lados por $ s(s - 3)(s + 3) $:
Para encontrar $ A, B, C $, escolhemos valores de $ s $ que simplificam a equação.
Passo 6
Escolhendo $ s = 0 $:
Escolhendo $ s = 3 $:
Escolhendo $ s = -3 $:
Portanto, a decomposição fica:
Passo 7
Substituindo de volta em $ Y(s) $:
Passo 8
Aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo. Sabemos que:
Portanto:
Passo 9
Podemos simplificar usando a identidade:
Então:
Resposta
A solução da equação diferencial é: