Descreva o domínio, a imagem, as curvas de nível e esboce os gráficos da seguinte função:
.
Passo 1
Primeiro, vamos recapitular a questão: temos a função f(x,y)=x/y² e precisamos encontrar o domínio (onde f está definida), a imagem (valores possíveis de f), as curvas de nível (conjuntos onde f(x,y)=c para cada c∈ℝ) e depois esboçar o gráfico em 3D.
Passo 2
Para achar o domínio de f, lembramos que não podemos dividir por zero. O denominador é y², então basta exigir que y≠0. Logo, o domínio é o conjunto
Passo 3
Agora a imagem: tome qualquer valor real c. Para um y fixo (≠0), f(x,y)=x/y² varia livremente com x∈ℝ, então atinge todo c∈ℝ. Assim a imagem de f é todo o conjunto dos números reais, isto é
.
Passo 4
As curvas de nível para cada constante c vêm da equação f(x,y)=c, ou seja
que dá
Isso descreve, no plano xy, parábolas com vértice na origem. Se c>0, abre para x>0; se c<0, abre para x<0; e para c=0 dá a reta x=0.
Passo 5
Para esboçar o gráfico z=f(x,y) em 3D, note:
- Em cada plano y=y₀ fixo, z=x/y₀² é uma reta passando pela origem no plano xz, de coeficiente angular 1/y₀².
- Para y grande, a reta é mais ‘achatada’ (coeficiente pequeno); conforme y→0, 1/y²→+∞, a superfície escapa verticalmente.
- A superfície é simétrica em relação ao plano y=0 (pois y² aparece).
Passo 6
Juntando tudo, temos uma superfície que se abre em ambos os lados de x, com f→±∞ conforme y→0 e f→0 conforme |y|→∞. Os traços horizontais (curvas de nível) são parábolas x=c y².
Passo 7
Domínio, imagem, curvas de nível e forma geral do gráfico da função f(x,y)=x/y² foram assim determinados.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
. Curvas de nível: para cada c∈ℝ,
, que são parábolas no plano xy (abre para x>0 se c>0, para x<0 se c<0, e x=0 se c=0). O gráfico é a superfície z=x/y², com retas no plano y=y₀ de coeficiente 1/y₀² e forte subida vertical quando y→0, achatando quando |y| cresce.