Suponhamos que um objeto, com vetor posição no espaço
, está sujeito a uma força
com direção dada pela velocidade
. Se a velocidade escalar nunca se anula, é verdadeiro que o movimento do objeto é retilíneo?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão:
- Há um objeto com posição
e velocidade . - A força
tem direção dada por ; em palavras: é sempre paralela a . - A velocidade escalar nunca se anula, isto é
para todos os considerados.
Pergunta: com essas hipóteses, é verdade que o movimento do objeto é retilíneo (a trajetória é uma reta)?
Passo 2
Converter a informação "direção de
é
" em uma relação matemática. Dois vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro; portanto existe uma função escalar
tal que
Se aplicarmos a segunda lei de Newton (ou, de forma geral, se a aceleração está na direção da força), com massa
temos
onde definimos
. Portanto a aceleração é sempre paralela à velocidade: existe
tal que
Passo 3
Interpretar a equação vetorial
. Essa relação diz que a derivada do vetor velocidade é sempre um múltiplo escalar do próprio vetor velocidade; em particular, não há componente de
perpendicular a
. Vou transformar isso numa afirmação sobre a direção de
.
Defina o versor (vetor unitário de direção da velocidade)
que existe porque
. Diferenciando
obtemos
Substituindo
dá
Logo
Passo 4
Calcular a derivada de
. Usando regra do quociente vetorial,
Agora substitua
e
:
Portanto
, o que significa que
é constante no tempo. Em palavras: a direção da velocidade não muda.
Passo 5
Concluir sobre a trajetória. Se a direção de
é constante, então
aponta sempre para a mesma reta fixa no espaço; assim a posição
varia apenas ao longo dessa reta, possivelmente com módulo (velocidade) variando no tempo. Logo a curva descrita pela partícula é uma reta — ou seja, o movimento é retilíneo.
(Observação alternativa e útil: a curvatura da trajetória é dada por
. Como
é paralelo a
, tem-se
, logo
e a trajetória é uma reta. Essa fórmula conecta a mesma ideia por outro caminho.)
Passo 6
Comentário prático e exemplo para fixar: a hipótese
é importante porque garante que a direção
esteja sempre bem definida. Um exemplo concreto: se
constante então
e
que é claramente uma parametrização de uma reta (multiplicando sempre o mesmo vetor
). Assim a velocidade pode crescer ou diminuir, mas a direção não muda; o movimento é retilíneo.
Resposta
Sim — o movimento é retilíneo.