Suponhamos que um objeto, com vetor posição no espaço \vec{r}, está sujeito a uma força \vec{F} com direção dada pela velocidade \vec{r}^{\prime}. Se a velocidade escalar nunca se anula, é verdadeiro que o movimento do objeto é retilíneo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão:
  • Há um objeto com posição \vec{r}(t) e velocidade \vec{v}(t)=\vec{r}'(t).
  • A força \vec{F}(t) tem direção dada por \vec{v}(t); em palavras: \vec{F} é sempre paralela a \vec{v}.
  • A velocidade escalar nunca se anula, isto é \|\vec{v}(t)\|\neq 0 para todos os t considerados.
    Pergunta: com essas hipóteses, é verdade que o movimento do objeto é retilíneo (a trajetória é uma reta)?

Passo 2

Converter a informação "direção de \vec{F} é \vec{v}" em uma relação matemática. Dois vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro; portanto existe uma função escalar \lambda(t) tal que
\vec{F}(t)=\lambda(t)\,\vec{v}(t).
Se aplicarmos a segunda lei de Newton (ou, de forma geral, se a aceleração está na direção da força), com massa m temos
m\vec{a}(t)=\vec{F}(t)\quad\Rightarrow\quad \vec{a}(t)=\vec{r}''(t)=\mu(t)\,\vec{v}(t),
onde definimos \mu(t)=\lambda(t)/m. Portanto a aceleração é sempre paralela à velocidade: existe \mu(t) tal que
\vec{v}'(t)=\mu(t)\,\vec{v}(t).

Passo 3

Interpretar a equação vetorial \vec{v}'=\mu\vec{v}. Essa relação diz que a derivada do vetor velocidade é sempre um múltiplo escalar do próprio vetor velocidade; em particular, não há componente de \vec{v}' perpendicular a \vec{v}. Vou transformar isso numa afirmação sobre a direção de \vec{v}.
Defina o versor (vetor unitário de direção da velocidade)
\hat{u}(t)=\frac{\vec{v}(t)}{\|\vec{v}(t)\|},
que existe porque \|\vec{v}(t)\|\neq 0. Diferenciando \|\vec{v}\|^2=\vec{v}\cdot\vec{v} obtemos
\frac{d}{dt}\|\vec{v}\|^2=2\,\vec{v}\cdot\vec{v}'.
Substituindo \vec{v}'=\mu\vec{v}
\frac{d}{dt}\|\vec{v}\|^2=2\,\mu\,\|\vec{v}\|^2.
Logo
\frac{d}{dt}\|\vec{v}\|=\mu\,\|\vec{v}\|.

Passo 4

Calcular a derivada de \hat{u}. Usando regra do quociente vetorial,
\hat{u}'=\frac{\vec{v}'\|\vec{v}\|-\vec{v}\,\dfrac{d}{dt}\|\vec{v}\|}{\|\vec{v}\|^2}.
Agora substitua \vec{v}'=\mu\vec{v} e \dfrac{d}{dt}\|\vec{v}\|=\mu\|\vec{v}\|:
\hat{u}'=\frac{\mu\vec{v}\|\vec{v}\|-\vec{v}\,\mu\|\vec{v}\|}{\|\vec{v}\|^2}=\vec{0}.
Portanto \hat{u}'(t)=\vec{0}, o que significa que \hat{u}(t) é constante no tempo. Em palavras: a direção da velocidade não muda.

Passo 5

Concluir sobre a trajetória. Se a direção de \vec{v}(t) é constante, então \vec{v}(t) aponta sempre para a mesma reta fixa no espaço; assim a posição \vec{r}(t) varia apenas ao longo dessa reta, possivelmente com módulo (velocidade) variando no tempo. Logo a curva descrita pela partícula é uma reta — ou seja, o movimento é retilíneo.
(Observação alternativa e útil: a curvatura da trajetória é dada por \kappa=\dfrac{\|\vec{v}\times\vec{a}\|}{\|\vec{v}\|^3}. Como \vec{a} é paralelo a \vec{v}, tem-se \vec{v}\times\vec{a}=\vec{0}, logo \kappa=0 e a trajetória é uma reta. Essa fórmula conecta a mesma ideia por outro caminho.)

Passo 6

Comentário prático e exemplo para fixar: a hipótese \|\vec{v}(t)\|\neq 0 é importante porque garante que a direção \hat{u} esteja sempre bem definida. Um exemplo concreto: se \mu(t)=k constante então \vec{v}(t)=\vec{v}(0)\,e^{k t} e
\vec{r}(t)=\vec{r}(0)+\frac{\vec{v}(0)}{k}\bigl(e^{k t}-1\bigr),
que é claramente uma parametrização de uma reta (multiplicando sempre o mesmo vetor \vec{v}(0)). Assim a velocidade pode crescer ou diminuir, mas a direção não muda; o movimento é retilíneo.

Resposta

Sim — o movimento é retilíneo.

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