Um partícula começa sua trajetória no instante t=0 e termina no instante t=1 com posição inicial e final \vec{i}+\vec{j}+\vec{k}. Sua aceleração é \vec{a}(t)=\left\langle 12 t^{2},-\pi^{2}\right. sen \left.(\pi t), e^{t}\right\rangle. Determine sua função posição.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (listei tudo claramente para não perder o foco):
  • Intervalo de tempo: a partícula parte em t=0 e termina em t=1.
  • Posição inicial: \vec{r}(0)=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}=\langle 1,1,1\rangle.
  • Posição final: \vec{r}(1)=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}=\langle 1,1,1\rangle.
  • Aceleração: \displaystyle \vec{a}(t)=\left\langle 12 t^{2}, -\pi^{2}\sin(\pi t), e^{t}\right\rangle.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a função posição \vec{r}(t) para 0\le t\le1.

Passo 2

Ideia geral do procedimento (explicação conceitual bem direta):
  • Em cinemática vetorial, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo e a segunda derivada da posição:
\vec{a}(t)=\vec{v}'(t)=\vec{r}''(t).
  • Portanto, para obter \vec{r}(t) a partir de \vec{a}(t) devemos integrar \vec{a}(t) uma vez para obter \vec{v}(t) (aparecem constantes de integração) e integrar novamente para obter \vec{r}(t) (aparecem mais constantes). Em seguida usamos as condições \vec{r}(0) e \vec{r}(1) para determinar todas as constantes.
  • Vou mostrar as regras de integração que vou usar: regra do poder (se \int t^{n}dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq -1), integral da exponencial ( \int e^{t}dt=e^{t}), e a integral de uma função composta com seno/cosseno (regra da cadeia inversa). Vou aplicar isso componente a componente.

Passo 3

Integrar \vec{a}(t) para obter a velocidade \vec{v}(t).
Componentes:
  • Componente x: \displaystyle \int 12 t^{2}\,dt. Usando a regra do poder:
\int 12 t^{2}\,dt = 12\cdot\frac{t^{3}}{3}=4t^{3}.
  • Componente y: \displaystyle \int -\pi^{2}\sin(\pi t)\,dt. Aqui usar a substituição implícita (regra da cadeia): como \dfrac{d}{dt}\cos(\pi t)=-\pi\sin(\pi t), temos
\int -\pi^{2}\sin(\pi t)\,dt = -\pi^{2}\cdot\left(-\frac{1}{\pi}\cos(\pi t)\right)=\pi\cos(\pi t).
(Detalhe: \int \sin(\pi t)\,dt = -\dfrac{1}{\pi}\cos(\pi t), daí o fator -\pi^{2} \pi\cos(\pi t).)
  • Componente z: \displaystyle \int e^{t}\,dt = e^{t}.
Ao integrar obtemos constantes de integração (um escalar por componente). Denotando essas constantes por C_1,C_2,C_3, a velocidade geral é
\vec{v}(t)=\left\langle 4t^{3}+C_{1},\; \pi\cos(\pi t)+C_{2},\; e^{t}+C_{3}\right\rangle.
Expliquei o que cada C_i representa: são as constantes provenientes da integração da aceleração — fisicamente, combinam-se para formar as componentes da velocidade inicial (se conhecêssemos \vec{v}(0) elas seriam determinadas).

Passo 4

Integrar \vec{v}(t) para obter a posição \vec{r}(t).
Integramos componente a componente e introduzimos novas constantes D_1,D_2,D_3:
  • Componente x:
\int (4t^{3}+C_{1})\,dt = \int 4t^{3}\,dt + C_{1}\int 1\,dt = t^{4} + C_{1}t + D_{1}.
(Usei \int 4t^{3}dt=4\cdot \dfrac{t^{4}}{4}=t^{4} e \int C_{1}dt = C_{1}t.)
  • Componente y:
\int (\pi\cos(\pi t)+C_{2})\,dt = \int \pi\cos(\pi t)\,dt + C_{2}t + D_{2}.
Para \int \pi\cos(\pi t)\,dt: como \dfrac{d}{dt}\sin(\pi t)=\pi\cos(\pi t), a integral é \sin(\pi t). Logo a componente y fica
\sin(\pi t) + C_{2}t + D_{2}.
  • Componente z:
\int (e^{t}+C_{3})\,dt = e^{t} + C_{3}t + D_{3}.
Portanto a posição geral com constantes é
\vec{r}(t)=\left\langle t^{4}+C_{1}t+D_{1},\; \sin(\pi t)+C_{2}t+D_{2},\; e^{t}+C_{3}t+D_{3}\right\rangle.
Aqui temos seis constantes desconhecidas C_{1},C_{2},C_{3},D_{1},D_{2},D_{3}. Usaremos as condições de contorno para determinar todas elas.

Passo 5

Usar a condição \vec{r}(0)=\langle 1,1,1\rangle.
Avaliar \vec{r}(t) em t=0:
\vec{r}(0)=\left\langle 0^{4}+C_{1}\cdot 0 + D_{1},\; \sin(0)+C_{2}\cdot 0 + D_{2},\; e^{0}+C_{3}\cdot 0 + D_{3}\right\rangle =\langle D_{1},\; D_{2},\; 1 + D_{3}\rangle.
Igualando a \langle 1,1,1\rangle obtemos o sistema:
D_{1}=1,\qquad D_{2}=1,\qquad 1 + D_{3}=1.
Daqui:
D_{1}=1,\qquad D_{2}=1,\qquad D_{3}=0.

Passo 6

Usar a condição \vec{r}(1)=\langle 1,1,1\rangle, já substituindo D_{1},D_{2},D_{3}.
Avaliar \vec{r}(t) em t=1:
\vec{r}(1)=\left\langle 1^{4}+C_{1}\cdot 1 + D_{1},\; \sin(\pi\cdot 1)+C_{2}\cdot 1 + D_{2},\; e^{1}+C_{3}\cdot 1 + D_{3}\right\rangle.
Substituindo D_{1}=1, D_{2}=1, D_{3}=0 e \sin(\pi)=0, obtemos
\vec{r}(1)=\langle 1 + C_{1} + 1,\; 0 + C_{2} + 1,\; e + C_{3} + 0\rangle =\langle 2 + C_{1},\; 1 + C_{2},\; e + C_{3}\rangle.
Igualando à \langle 1,1,1\rangle resulta no sistema:
2 + C_{1} = 1,\qquad 1 + C_{2} = 1,\qquad e + C_{3} = 1.
Resolvendo:
C_{1} = 1 - 2 = -1,\qquad C_{2}=0,\qquad C_{3} = 1 - e.

Passo 7

Substituir todas as constantes encontradas em \vec{r}(t) e simplificar.
Lembrando que D_{1}=1, D_{2}=1, D_{3}=0 e C_{1}=-1, C_{2}=0, C_{3}=1-e, a posição fica:
\vec{r}(t)=\left\langle t^{4} + (-1)\,t + 1,\; \sin(\pi t) + 0\cdot t + 1,\; e^{t} + (1-e)\,t + 0\right\rangle.
Simplificando os zeros e sinais:
\vec{r}(t)=\left\langle t^{4}-t+1,\; \sin(\pi t)+1,\; e^{t}+(1-e)\,t\right\rangle.
Se quiser verificar rápido (cheque mental): em t=0 \langle 0-0+1,\;0+1,\;1+0\rangle=\langle1,1,1\rangle; em t=1 \langle1-1+1,\;0+1,\;e+(1-e)\cdot1\rangle=\langle1,1,1\rangle. Tudo consistente.

Resposta

\displaystyle \vec{r}(t)=\left\langle t^{4}-t+1,\; \sin(\pi t)+1,\; e^{t}+(1-e)\,t\right\rangle

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