Um partícula começa sua trajetória no instante
e termina no instante
com posição inicial e final
. Sua aceleração é
sen
. Determine sua função posição.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (listei tudo claramente para não perder o foco):
- Intervalo de tempo: a partícula parte em
e termina em . - Posição inicial:
. - Posição final:
. - Aceleração:
.
O que o enunciado pede:
- Determinar a função posição
para .
Passo 2
Ideia geral do procedimento (explicação conceitual bem direta):
- Em cinemática vetorial, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo e a segunda derivada da posição:
- Portanto, para obter
a partir de devemos integrar uma vez para obter (aparecem constantes de integração) e integrar novamente para obter (aparecem mais constantes). Em seguida usamos as condições e para determinar todas as constantes. - Vou mostrar as regras de integração que vou usar: regra do poder (se
para ), integral da exponencial ( ), e a integral de uma função composta com seno/cosseno (regra da cadeia inversa). Vou aplicar isso componente a componente.
Passo 3
Integrar
para obter a velocidade
.
Componentes:
- Componente
: . Usando a regra do poder:
- Componente
: . Aqui usar a substituição implícita (regra da cadeia): como , temos
(Detalhe:
, daí o fator
dá
.)
- Componente
: .
Ao integrar obtemos constantes de integração (um escalar por componente). Denotando essas constantes por
, a velocidade geral é
Expliquei o que cada
representa: são as constantes provenientes da integração da aceleração — fisicamente, combinam-se para formar as componentes da velocidade inicial (se conhecêssemos
elas seriam determinadas).
Passo 4
Integrar
para obter a posição
.
Integramos componente a componente e introduzimos novas constantes
:
- Componente
:
(Usei
e
.)
- Componente
:
Para
: como
, a integral é
. Logo a componente
fica
- Componente
:
Portanto a posição geral com constantes é
Aqui temos seis constantes desconhecidas
. Usaremos as condições de contorno para determinar todas elas.
Passo 5
Usar a condição
.
Avaliar
em
:
Igualando a
obtemos o sistema:
Daqui:
Passo 6
Usar a condição
, já substituindo
.
Avaliar
em
:
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Igualando à
resulta no sistema:
Resolvendo:
Passo 7
Substituir todas as constantes encontradas em
e simplificar.
Lembrando que
,
,
e
,
,
, a posição fica:
Simplificando os zeros e sinais:
Se quiser verificar rápido (cheque mental): em
dá
; em
dá
. Tudo consistente.