Descreva o efeito na curva característica torque-velocidade de um motor de indução produzido por
(a) reduzir à metade da tensão elétrica aplicada;
Esboce as curvas de torque-velocidade resultantes em relação à tensão elétrica nominal e à frequência nominal. Não leve em consideração os efeitos da resistência elétrica do estator e da reatância de dispersão.

Passo 1

O enunciado pede para descrever o efeito, sobre a curva característica torque‑velocidade de um motor de indução, quando a tensão aplicada é reduzida à metade. Condições/limitações dadas:
  • A frequência permanece na frequência nominal (ou seja, não se altera a velocidade síncrona).
  • Não levar em consideração a resistência elétrica do estator nem a reatância de dispersão (ou seja, desprezar R_s e as reatâncias de fuga).
  • É esperado um esboço comparativo da curva para tensão nominal e para metade da tensão, ambos com frequência nominal.
O que se pede concretamente:
  • Determinar como o torque T depende da tensão aplicada V e do escorregamento s sob as simplificações dadas.
  • Indicar numericamente como a curva se modifica (por exemplo, fator de escala).
  • Esboçar qualitativamente as curvas torque versus velocidade mecânica (ou versus escorregamento), mostrando a curva com V nominal e com V/2.

Passo 2

Definições básicas e conceitos que vamos usar (explicados como num cartão de cola para a prova):
  • Escorregamento s: é a medida de quanto o rotor fica atrás do campo girante. Definição comum:
s=\frac{\omega_s-\omega_m}{\omega_s},
onde \omega_s é a velocidade angular síncrona do campo girante e \omega_m é a velocidade angular mecânica do rotor. Quando o motor está parado \,s=1, quando gira em sincronia \,s=0.
  • Potência de GAP / torque eletromagnético: o torque eletrônico produzido é proporcional à potência transferida do campo para o rotor (potência no entreferro) dividida por \omega_s. Em modelos elétricos mais completos usa‑se o circuito equivalente e o teorema de Thevenin para obter uma expressão prática do torque.
  • Forma geral (completa) do torque para um modelo usual (Thevenin) — só para referência e para sabermos de onde vem a dependência em V^2:
T=\frac{3}{\omega_s}\,\frac{V_{th}^2\,(R'_r/s)}{(R_{th}+R'_r/s)^2+(X_{th}+X'_r)^2},
onde:
  • V_{th} e R_{th},X_{th} são a tensão e impedâncias do equivalente de Thevenin visto pelo circuito do rotor,
  • R'_r e X'_r são resistência e reatância do rotor referidas ao estator,
  • \omega_s é a velocidade angular síncrona,
  • s é o escorregamento.
Expliquei isso porque a dependência em V^2 aparece diretamente no numerador ( V_{th}^2), e as variáveis elétricas do denominador definem a forma (pico, posição do pico, etc.).

Passo 3

Aplicando a simplificação do enunciado (desprezar resistência do estator e reatância de dispersão):
  • Desprezar R_s e as reatâncias de dispersão implica que o Thevenin visto pelo rotor é trivial: V_{th}=V (tensão aplicada), e os termos reativos que limitam a corrente também são desprezados na expressão (ou seja, R_{th}=0 e X_{th}+X'_r\approx 0 no modelo idealizado pedido). Substituindo a expressão geral e simplificando algebricamente:
Começando de
T=\frac{3}{\omega_s}\,\frac{V^2\,(R'_r/s)}{(R'_r/s)^2},
porque o denominador reduz a (R'_r/s)^2 quando R_{th}=0 e as reatâncias são desprezadas.
Agora calculando o quociente:
\frac{(R'_r/s)}{(R'_r/s)^2}=\frac{(R'_r/s)}{R_r'^2/s^2}=\frac{s}{R'_r}.
Portanto a expressão simplificada do torque fica
T=\frac{3\,V^2}{\omega_s}\,\frac{s}{R'_r}.
Interpretando cada termo:
  • \dfrac{3}{\omega_s} é um fator geométrico/convertedor de potência para torque (3 fases dividido pela velocidade síncrona).
  • V^2 mostra que o torque escala com o quadrado da tensão aplicada.
  • \dfrac{s}{R'_r} mostra que, neste modelo simplificado, o torque é proporcional ao escorregamento s (ou seja, cresce linearmente com s) e inversamente proporcional à resistência do rotor referida R'_r.

Passo 4

Consequência direta para reduzir V à metade:
Seja T_V(s) o torque com tensão V. Com tensão V/2 o torque será
T_{V/2}(s)=\frac{3\,(V/2)^2}{\omega_s}\,\frac{s}{R'_r}=\frac{3\,V^2}{\omega_s}\,\frac{s}{R'_r}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\,T_{V}(s).
Portanto, para todo valor de escorregamento s (ou seja, em todos os pontos da curva), o torque fica reduzido por um fator:
\text{fator de escala}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}.
Observações importantes:
  • A velocidade síncrona \omega_s não muda porque a frequência foi mantida na nominal.
  • A forma da curva T vs s no modelo simplificado (proporcional a s) permanece a mesma; só muda a amplitude (escala vertical) por 1/4.
  • O torque de partida ( s=1) também cai para 1/4 do valor nominal:
T_{\text{partida}}=\frac{3\,V^2}{\omega_sR'_r}\quad\longrightarrow\quad T_{\text{partida},V/2}=\frac{1}{4}T_{\text{partida},V}.

Passo 5

Descrição do esboço das curvas torque‑velocidade (como desenhar na prova):
  • Eixos:
    • eixo horizontal: velocidade mecânica \omega_m (ou equivalently velocidade n); marque a velocidade síncrona \omega_s à direita.
    • eixo vertical: torque T.
  • Curva com V nominal:
    • no modelo pedido (sem reatância), a curva é uma reta que vai de T=0 em \omega_m=\omega_s ( s=0) até T=T_{\text{partida}} em \omega_m=0 ( s=1). Ou seja, T cresce linearmente com o escorregamento s.
    • marque T_{\text{partida}}=\dfrac{3V^2}{\omega_sR'_r} no eixo vertical (valor no ponto \omega_m=0).
  • Curva com V/2 (frequência nominal):
    • desenhe uma curva geométrica idêntica (mesma inclinação em termos de s), porém com altura 1/4 da anterior. Ou seja, no eixo vertical marque T_{\text{partida},V/2}=\dfrac{1}{4}T_{\text{partida}}.
    • a interseção com \omega_m=\omega_s continua sendo T=0.
  • Em palavras: duas retas colineares em relação ao escorregamento; a com metade da tensão fica bem mais baixa (um quarto da amplitude). A abscissa do ponto síncrono é a mesma para ambas (velocidade síncrona inalterada).
Se quiser um exemplo numérico rápido para desenhar sem calculadora: escolha números fáceis (por exemplo assumir \dfrac{3}{\omega_sR'_r}=1 por conveniência). Então T_V(s)=V^2 s. Para V=1: T(s)=s (reta de 0 a 1). Para V=1/2: T(s)=\tfrac{1}{4}s (reta de 0 a 0,25). Isso ajuda a traçar sem contas complicadas.

Passo 6

Comentários práticos e dica de prova (tom amigável):
  • No enunciado foi pedido explicitamente para desprezar as reatâncias: isso simplifica muito a forma da curva (torque ∝ s). Em motores reais, a presença das reatâncias produz uma curva com máximo (torque de ruptura) em certo s intercalar; nesse caso, ainda assim, tanto o torque de partida quanto o torque máximo escalam aproximadamente com V^2 quando a frequência é mantida — ou seja, reduzir V reduz os torques aproximadamente pelo quadrado da diminuição de tensão.
  • Dica de escrita na prova: comece escrevendo a dependência T\propto V^2 (justifique com o circuito equivalente/Thevenin) e a relação com s; em seguida conclua rapidamente que V\to V/2 implica T\to T/4. Desenhe as duas curvas com esta relação de escala, marque claramente que \omega_s (ou n_s) não mudou.
  • Ânimo: não se assuste com expressões — aqui a ideia central que vale é “torque ∝ tensão ao quadrado” e “velocidade síncrona depende só da frequência”. Isso resolve o problema rápido na prova.

Resposta

A curva torque‑velocidade, no modelo simplificado, mantém a mesma forma (dependência linear com o escorregamento s) e a velocidade síncrona não se altera. Ao reduzir a tensão à metade, todo o eixo de torque é escalado por um fator \dfrac{1}{4} (pois T\propto V^2), ou seja,
T_{V/2}(s)=\frac{1}{4}\,T_{V}(s).
O torque de partida e o torque máximo (no modelo simplificado) ficam iguais a \dfrac{1}{4} dos respectivos valores nominais.

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